Презентация к уроку по теме "Иррациональные числа"

Действительные числа

Иррациональные числа.

Свойства множества натуральных чисел (N)

• Множество натуральных чисел бесконечно.
• Множество натуральных чисел имеет наименьший элемент — число 1.
• Множество натуральных чисел не имеет наибольшего элемента.
• Во множестве  N  всегда выполнимы операции сложения и умножения.
• Множество  N  не является плотным, так как не всегда между двумя его любыми элементами можно найти хотя бы один элемент этого множества.

Свойства множества целых чисел (Z)

• Множество целых чисел бесконечно.
• Множество целых чисел не имеет наименьшего элемента.
• Множество целых чисел не имеет наибольшего элемента.
• Во множестве  Z  выполняются операции сложения, вычитания и умножения.
• Множество  Z  не обладает свойством плотности, так как не всегда между любыми двумя его элементами можно найти хотя бы один элемент этого множества.

Свойства множества рациональных чисел (Q)

• Множество рациональных чисел бесконечно.
• Множество рациональных чисел не имеет наименьшего элемента.
• Множество рациональных чисел не имеет наибольшего элемента.
• Во множестве  Q  выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.
• Множество  Q  обладает свойством плотности, между любыми двумя его элементами можно найти хотя бы один элемент этого множества (вообще между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел).

Множество действительных чисел

• Ещё 2500 лет назад греческими математиками было обнаружено, что нужды геометрии не обеспечиваются рациональными числами. Они были удивлены и обескуражены, заметив, что длина диагонали квадрата, стороны которого имеют длину единица, не может быть выражена никаким рациональным числом. 
• Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют  действительными числами .
• Обозначают R – от лат. realis – реальный, существующий в действительности.

Развитие понятия числа:

• Действи́тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.
• Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то действительные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству действительных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также иррациональные числа («ир» - отрицание ).

• Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби – рациональные числа (m/n):

1/3; 1,(56); – 4; 67; 8,12; 0,(3); 8/37 …

• Бесконечные десятичные непериодические – иррациональные числа:

5,10100100010000…; 4,101100111000…

 (пи) – отношение длины окружности к диаметру,  = 3,141592654…

• Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где  m  — целое число, а  n  — натуральное.

• При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближенными значениями (производят округление до десятых, сотых и т.д.)

Свойства множества действительных чисел (R)

• Множество действительных чисел бесконечно.
• Множество действительных чисел не имеет наименьшего элемента.
• Множество действительных чисел не имеет наибольшего элемента.
• Во множестве  R  выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, а также выполняются операции извлечения корня, вычисления логарифмов.
• Множество  R  обладает свойством плотности, между любыми двумя его элементами можно найти хотя бы один элемент этого множества (вообще между любыми двумя действительными числами находится бесконечно много действительных чисел).

• Наглядно понятие действительного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единичный отрезок, то каждому действительному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно: каждая точка этой прямой будет представлять некоторое, и притом только одно, действительное число. Вследствие этого соответствия термин «числовая прямая» обычно употребляется в качестве синонима множества действительных чисел.

• Между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует  взаимно однозначное соответствие:

• Если имеются два множества А и В и по некоторому правилу каждому элементу множества А поставлен в соответствие единственный элемент множества В, при этом любой элемент множества В является соответствующим для некоторого единственного элемента множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено  взаимно однозначное соответствие .
• Если имеются два множества А и В и по некоторому правилу каждому элементу множества А поставлен в соответствие единственный элемент множества В, при этом любой элемент множества В является соответствующим для некоторого единственного элемента множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено  взаимно однозначное соответствие .

Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм  (1831—1916)

• немецкий математик, известный работами по абстрактной алгебре и основаниям действительных чисел, член Берлинской академии наук (1880).
• Учился у К. Гаусса и Л. Дирихле в Гёттингенском университете.
• Создал ряд общих концепций, лежащих в основе современной алгебры. В сочинении «Непрерывность и иррациональные числа» (1872) дал одну из первых систем строгого обоснования теории действительных чисел.

КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815–1897)

• —  немецкий математик, почётный член Петербургской академии наук. Имеет многочисленные труды по математическому анализу и другим разделам математики. С его именем связано построение теории действительных чисел на основе десятичных дробей. «Отец современного математического анализа».
• В его честь был назван кратер Weierstrass на Луне. Имя Вейерштрасса носит математический институт WIAS в Берлине.

Упражнения:

285.  Расположите в порядке возрастания числа

4,62; 3,(3); –2,75...; –2,63... .

286.  Расположите в порядке убывания числа

1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); –0,078... .

287.  Какие целые числа расположены между числами:

а) −3,168... и 2,734...; б) −5,106... и −1,484...;

в) −4,06 и −1,601; г) −1,29 и 0,11?

289.  Найдите приближённое значение выражения  a  −  b , где  a  = 59,678... и  b  = 43,123..., округлив предварительно  а  и  b :

а) до десятых; б) до сотых.

Сравните числа:

Д/з:

• № 280, 281, 284, 288.
• п. 11 – прочитать, выводы запомнить.