Презентация " Четыре замечательные точки треугольника"

Четыре замечательные точки треугольника

медианы

серединные перпендикуляры

биссектрисы

Выполнила: Антипова Галина Ивановна

МБОУ «Золотополенская ОШ», Республика Крым

высоты

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

Теорема1 . Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла

равноудалена от его сторон.

В

Х

Е

М

С

К

А

Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла –

множество точек плоскости,

равноудалённых от сторон этого угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку

равноудалена от его концов.

Р

М

В

А

К

Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на

серединном перпендикуляре к нему.

Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку –

множество точек плоскости,

равноудалённых от его концов.

Первая замечательная точка треугольника

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В

Е

О

У

С

Т

А

Точка О – центр вписанной окружности.

Вторая замечательная точка треугольника

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке.

В

k

p

О

С

А

n

Точка О – центр описанной окружности

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение)

Ещё возможное расположение:

Третья замечательная точка треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,

которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от

вершины.

( О - центр тяжести треугольника – центроид)

В

Р

М

О

С

К

А

Четвёртая замечательная точка треугольника

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения

пересекаются в одной точке (ортоцентр).

В

В

А

К

Н

А

С

К

М

М

О

М

В

С

А

Н

С

О

А

А

1 вариант 2 вариант

• Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его …

А) вершины В) сторон С) биссектрисы

• Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит

А) на его биссектрисе В) на его стороне С) внутри угла

2. Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является ___________ этого угла.

А) медиана В) биссектриса С) высота

• Биссектрисы треугольника … А) пересекаются в одной точке

В) проходят через середины сторон треугольника и перпендикулярны к ним

С) делят противоположные стороны пополам

3 . Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему …

А) медиана В) биссектриса С) высота D) серединный перпендикуляр

3 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его …

А) начала В) концов С) одного конца

4. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, является … А) серединный перпендикуляр к этому отрезку

В) перпендикуляр к этому отрезку С) середина этого отрезка

4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника …

А) пересекаются в одной точке В) перпендикулярны к ним

С) делят противоположные стороны пополам

5. Высоты треугольника … А) пересекаются в одной точке

В) проходят через середины сторон треугольника и перпендикулярны к ним

С) делят противоположные стороны пополам

5. «Замечательной» точкой треугольника не является …

А) точка пересечения медиан В) точка пересечения биссектрис

С) точка пересечения перпендикуляров к сторонам D) точка пересечения высот

Е ) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам

Проверь!

1 вариант

1

2 вариант

В

2

3

А

В

А

D

4

B

A

5

A

A

C

Задача № 680.

В

Дано: АВС, АМ = ВМ,МD AB,

AK = KC, DK AC, D є BC.

D

М

Доказать: D - середина ВС,

А = В + С.

1

2

С

А

Доказательство:

К

а)

D є BC по условию, значит, ВD = AD

АМ = ВМ, МD AB,

BD = DC ,

AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC

следовательно, D – середина ВС .

б) По доказанному

AD = DC, значит, треугольники АВD

и

ВD = AD

и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С.

ВАС = 1 + 2 = В + С