ГБОУ СПО «Навашинский Судомеханический техникум» Применение производной к исследованию функций.
Преподаватель: Кочеткова М.М.
Таблица производных
0, то k0, т.к. f '(x)=k что касательная к графику функции направлена вверх, т.е. что касательная к графику функции направлена вниз, т.е. график на этом промежутке график на этом промежутке «поднимается» – возрастает ( ) «опускается» – убывает ( ) " width="640"
Нахождение возрастания и убывания функции (монотонность)
Если f '(x)
Если f '(x)0, то k0, т.к. f '(x)=k
- что касательная к графику функции направлена вверх, т.е.
- что касательная к графику функции направлена вниз, т.е.
график на этом промежутке
график на этом промежутке
«поднимается» – возрастает ( )
«опускается» – убывает ( )
0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке. Если f '(x)Задача Найти интервалы монотонности функции f(x)= x 3 -3x 2 ООФ x- любое f '(x)=(x 3 -3x 2 )'=3x 2 -3∙2x=3x 2 -6x f '(x)=0 3x 2 -6x=0 3x(x-2)=0 x=0 x=2 – стационарные точки 4. + - + f '(x) 0 2 f(x) 5. x2 –функция возрастает 0" width="640"
Теорема
- Итак, если f '(x)0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
- Если f '(x)
Задача
Найти интервалы монотонности функции f(x)= x 3 -3x 2
- ООФ x- любое
- f '(x)=(x 3 -3x 2 )'=3x 2 -3∙2x=3x 2 -6x
- f '(x)=0 3x 2 -6x=0
3x(x-2)=0
x=0 x=2 – стационарные точки
4. + - + f '(x)
0 2 f(x)
5. x2 –функция возрастает
0
Алгоритм нахождения монотонности функции
Пусть дана функция f(x)
1. Найти ООФ
2. Найти производную f '(x)
3. Найти корни уравнения (стационарные точки) f '(x)=0
4. Найти на числовой прямой промежутки возрастания и убывания функции, согласно теореме.
. + - + f '(x)
f(x)
! Чтобы узнать знаки, нужно подставлять в производную
5. Записать ответ
Нахождение экстремумов функции
Пусть нам даны некоторые функции
1. На рисунке 1 видно, что точка (0;1) является точкой максимума (т. max)
2. На рисунке 2 видно, что точка (2;3) является точкой минимума (т. min)
3. На рисунке 3 видно, что т. (x 0 ;f(x 0 ))-т. max и (x 1 ;f(x 1 )) - т. min
4. На рисунке 4 видно, что точка (0;0) не является ни точкой максимума, не точкой минимума, т.е. такая точка является точкой перегиба
f(x 0 ) О 3 : Точки максимума и минимума называются точками экстремума ТЕОРЕМА Если x 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f '(x 0 )=0 " width="640"
Основные определения
О1: Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x) 0 )
О2: Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство
f(x)f(x 0 )
О 3 : Точки максимума и минимума называются точками экстремума
ТЕОРЕМА
Если x 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то
f '(x 0 )=0
Задача
Найти точки экстремума функции f(x)=x 4 -4x 3
- ООФ x-любое
- f '(x)=(x 4 -4x 3 )’ =4x 3 -4∙3x 2 = 4x 3 -12x 2
- f '(x)=0 4x 3 -12x 2 =0
4x 2 (x-3)=0
x=0 x=3 – стационарные точки
4.
- - + f '(x)
0 3 f(x)
5. x=3 – точка min ( )
x=0 – точка перегиба (т.к. производная в этой точке свой знак не меняет)
Алгоритм нахождения экстремумов функции
Пусть дана функция f(x)
1. Найти ООФ
2. Найти производную f '(x)
3. Найти корни уравнения (стационарные точки) f '(x)=0
4. Найти на числовой прямой промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремумов.
+ - + f '(x)
f(x)
- точка max - точка min
Если производная знаки не меняет, значит эта точка перегиба
5. Записать ответ
x 3 -2x 2 +x =0 С осью Оу х=0 = у(0)= 0 3 -2∙0 2 +0=0 х(х 2 -2х+1)=0 х=0 х=1 7 . Построение графика и нахождение дополнительных координат (если это требуется) " width="640"
Применение производной к построению графиков функций
Задача.
Построить график функции y=x 3 -2x 2 +x
- ООФ x – любое
- f '(x)=(x 3 -2x 2 +x)’ =3x 2 -2∙2x+1= 3x 2 -4x+1
- f '(x)=0 3x 2 -4x+1=0
x 1 =1 x 2 =1/3
4. + - + f '(x)
1/3 1 f(x)
x=1/3 – т. max ( ) x=1 – т. min ( )
5. y max =(1/3) 3 -2∙(1/3) 2 +1/3=4/27
y min =1 3 -2∙1 2 +1=0
6. Находим точки пересечения графика с осями координат:
С осью Ох у=0 = x 3 -2x 2 +x =0 С осью Оу х=0 = у(0)= 0 3 -2∙0 2 +0=0
х(х 2 -2х+1)=0
х=0 х=1
7 . Построение графика и нахождение дополнительных координат (если это требуется)
Алгоритм для построения графиков функций
Пусть дана функция f(x)
1. Найти ООФ
2. Найти производную f '(x)
3. Найти корни уравнения (стационарные точки) f '(x)=0
4. Найти на числовой прямой точки экстремума.
+ - + f '(x)
f(x)
- точка max - точка min
Если производная знаки не меняет, значит эта точка перегиба
5. Значение функции в этих точках, т. е. y max и y min ( подставлять в f(x))
6. Нахождение точек пересечения графика с осями координат
С осью Ох у=0, т.е. f(x)=0 С осью Оу х=0, т.е. у(0)
7. Построение графика и нахождение дополнительных координат (если это требуется)
Получите свидетельство
Вход
Презентация по математике "Применение производной для исследования функции" (0.24 MB)
0
1946
289
Нравится
0
