Разложение многочленов на множители.
Обобщающий урок по теме «Разложение на множители»
7 КЛАСС
В.И. Синявский. ГУО «Гимназия № 19 г. Минска»
Немного теории
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.
Существует несколько способов разложения:
- Вынесение общего множителя за скобки
- Способ группировки
- С помощью формул сокращенного умножения
Сначала убедимся в том что разложение на множители –вещь полезная.
Вам предлагают решить уравнение 2х 2 +х-6=0.
Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока еще не знаете.
Как быть?
Воспользуемся разложением многочлена на множители: 2х 2 +х –6=(2х-3)(х+2)
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
(2х-3) (х+2)=0
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит,
либо 2х-3=0,
либо х+2=0.
Из первого уравнения х=1,5, а из второго уравнения х=-2.
Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и –2.
Рассмотрим другую ситуацию
Пусть нужно найти значение числового выражения
53 2 -47 2
61 2 -39 2
Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:
53 2 -47 2 = (53-47)(53+47) = 6 •100 = 6 = 3
61 2 -39 2 (61-39)(61+39) 22•100 22 11
Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.
Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители .
ПРИМЕР
Доказать, что для любого натурального числа n выражение n 3 + 3 n 2 + 2 n делится без остатка на 6.
Попробуйте его решить
Посмотрите, как легко это можно сделать
Пусть p(n) = n 3 + 3 n 2 + 2 n .
Если n =1, то p (1) = 1+3+2=6. Значит, p (1) делится на 6 без остатка.
Если n =2, то p (2) = 2 3 +3 ·2 2 +2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p (2) делится на 6 без остатка.
Если n =3, то p (3) = 3 3 +3·3 2 +2·3=27+27+6=60. Поэтому и p (3) делится на 6 без остатка.
Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.
Имеем: n 3 + 3 n 2 + 2 n = n ( n +1)( n +2).
В самом деле n ( n +1)= n 2 + n , а ( n 2 +n )( n +2)= n 3 + 2 n 2 +n 2 + 2 n=n 3 + 3 n 2 + 2 n .
Итак, p(n) = n ( n +1)( n +2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n , n +1, n +2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.
Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n 3 + 3 n 2 + 2 n = n ( n +1)( n +2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.
К этому и перейдем.
Вынесение общего множителя за скобки Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
- Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
- Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
- Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.
Пример Разложить на множители: - x 4 y 3 - 2 x 3 y 2 + 5 x 2 .
Воспользуемся сформулированным алгоритмом .
- Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.
- Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x 2 .
- Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
Вывод: за скобки можно вынести x 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести - x 2 . Получим:
-x 4 y 3 - 2 x 3 y 2 + 5 x 2 =-x 2 (x 2 y 3 + 2 xy 2 - 5).
Способ группировки Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример: разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y
Первый способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y).
Группировка неудачна.
Второй способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).
Третий способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).
Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3).
Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомните эти формулы :
a 2 -b 2 =(a-b)(a+b);
a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 );
a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 );
a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ;
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 .
Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму ) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат , т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.
Примеры Разложить на множители:
1) x 6 -4a 4 . Воспользуемся первой формулой (разность квадратов):
x 6 -4a 4 =(x 3 ) 2 -(2a 2 ) 2 =(x 2 -2a 2 )(x 3 +2a 2 ).
2) a 6 +27b 3 . Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов):
a 6 +27b 3 =(a 2 ) 3 +(3b) 3 =(a 2 +3b)((a 2 ) 2 -a 2 ·3b+(3b) 2 )= =(a 2 +3b)(a 4 -3a 2 b+9b 4 ).
3) a 2 -4ab+4b 2 . В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом:
a 2 -4ab+4b 2 =a 2 +(2b) 2 -2·a·2b=(a-2b) 2 .
Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2 b , а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.
Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов
- В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.
Пример 1 Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5
1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a 6 , a 4 , a 2 ), поэтому за скобки можно вынести a 2 . Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b 3 , b 4 , b 5 ) – за скобки можно вынести b 3 .
Итак, за скобки вынесем 4a 2 b 3 . Тогда получим:
36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ).
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a 4 -24a 2 b+16b 2 . Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 ) 2 +(4b) 2 -2 ·3a 2 ·4b .
Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 -4b) 2 .
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2 .
Пример 2 Разложить на множители x 4 +x 2 a 2 +a 4
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x 2 a 2 в виде 2x 2 a 2 -x 2 a 2 . Получим:
x 4 +x 2 a 2 +a 4 =x 4 +2x 2 a 2 -x 2 a 2 +a 4 =
=(x 4 +2x 2 a 2 +a 4 )-x 2 a 2 =
=(x 2 +a 2 ) 2 -(xa) 2 =(x 2 +a 2 +xa).
Пример 3 Разложить на множители n 3 +3n 2 +2n
Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n 2 +3n+2). Теперь к трехчлену n 2 +3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n . Получим:
n 2 +3n+2=n 2 +2n+n+2=(n 2 +2n)+(n+2)=
=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).
Окончательно получаем:
n 2 +3n+2=n(n+1)(n+2).
Пример 4 Решить уравнение x 2 -6x+5=0
Первый способ. Представим – 6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки:
x 2 -6x+5=x 2 -5x+5=(x 2 -x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).
Тогда заданное уравнение примет вид:
(x-1)(x-5)=0,
откуда находим, что либо x=1, либо x=5.
Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
x 2 -6x+5=x 2 -6x+9-4=(x 2 -6x+9)-4=
=(x-3) 2 -2 2 =(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1).
Снова пришли к уравнению (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5.
Ответ: 1, 5.
Сокращение алгебраических дробей
Алгебраической дробью называется отношение двух многочленов P и Q . При этом используют запись P
Q
Тождества
a 2 -b 2 =(a-b)(a+b);
x 2 -4x+4=(x-2) 2 ;
(a+b)c=ac+bc.
Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных. Такие равенства называют тождествами . Левую и правую часть тождества называют выражениями, тождественно равными . Замену одного выражения другим, тождественным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Определение. Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
- Мы ввели новые (для вас) понятия математического языка:
разложение многочлена на множители;
алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби;
тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения.
- Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители:
вынесение общего множителя за скобки;
группировка;
использование формул сокращенного умножения;
выделение полного квадрата.
На этом мы и закончим
наш сегодняшний урок
Получите свидетельство
Вход
Презентация по математике по теме "Разложение многочленов на множители" (0.37 MB)
1
609
57
Нравится
0
