Презентация по математике на тему "Сферическая тригонометрия"

Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массовой культуры, но математика всегда осознавала свои необъятные возможности и потребности в использовании этих возможностей.

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как её вычислительный аппарат. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом  море по солнцу  и звёздам. Всё это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию, развитие которой было немыслимо без развития тригонометрии.

Мы изучаем только плоскую тригонометрию, но в то время как математиков древности, средневековья и нового времени больше всего интересовала сферическая тригонометрия и сферическая геометрия.

Роль прямых в сферической геометрии играют большие окружности, - те окружности, которые получаются в пересечении сфер и плоскостей, проходящих через центр сферы.

А) Через две, не являющимися диаметрально противоположными точками А и В, можно провести единственную большую окружность, что вполне соответствует аксиоме планиметрии: «Через любые 2 точки проходит прямая, и при том только одна».

Точки А и В разбивают эту большую окружность на 2 дуги- 2 сферических отрезка, меньший из которых являЕтся кратчайшей линией на сфере, соединяющий точки А и В.

Длину сферического отрезка измеряют величиной угла, под которым он виден из центра сферы.

Если провести на сфере три большие окружности, то сфера разобьётся на восемь сферических треугольников.

Определение: Сферическим треугольником называется фигура, составленная тремя дугами больших кругов, пересекающихся в трёх точках.

Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массовой культуры, но математика всегда осознавала сво И необъятные возможности и потребности в использовании этих возможностей ..

Работу выполнила: Кузьменко Майя Андреевна

Т РИ гонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии , КАК её вычислительный аппарат. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звёздам. Всё это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию, развитие которой было немыслимо без развития тригонометрии.

• Мы изучаем только плоскую тригонометрию, но в то время как математиков древности, средневековья и нового времени больше всего интересовала сферическая тригонометрия и сферическая геометрия.

Роль прямых в сферической геометрии играют большие окружности, - те окружности, которые получаются в пересечении сфер и плоскостей, проходящих через центр сферы.

А) Через две, не являющимися диаметрально противоположными точками А и В , можно провести единственную большую окружность,

что вполне соответствует аксиоме планиметрии: «Через

любые 2 точки проходит прямая, и при том только одна».

Точки А и В разбивают эту большую окружность на 2 дуги- 2 сферических отрезка, меньший из которых явля Е тся кратчайшей линией на сфере, соединяющий точки А и В.

Длину сферического отрезка измеряют величиной угла, под которым он виден из центра сферы.

Если провести на сфере три большие окружности, то сфера разобьётся на восемь сферических треугольников.

.

Определение: Сферическим треугольником называется фигура, составленная тремя дугами

больших кругов, пересекающихся в трёх точках.

Голландский математик Альберт Жирар (1595-1632 г.) первым вывел формулу площади сферического треугольника: S АВС =А+В+С-П,

где углы А;В;С измеряются в радианах.

Для сферических треугольников справедливы 3 известных в планиметрии признаки равенства треугольников:

1)По двум сторонам и углам межу ними.

2)По стороне и двум прилежащим углам.

3)По трём сторонам.

На сфере справедлив ещё один признак равенства треугольников- по трём углам!

И справедливы известные теоремы:

Теорема косинусов cosс=cosа*cosв+sinа*sinв*cosC и

Теорема синусов: sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC

Теорема синусов : В сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов:

sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC

Докажем теорему синусов .

Дано: сферический АВС

а, в, с-его стороны

углы А,В,С-противолежащие им углы.

Доказать: sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC

Доказательство: 1.Соединим вершины треугольника АВС с центром сферы радиусами ОА, ОВ, ОС и построим трехгранный угол ОАВС, соответствующий этому треугольнику. 2. Из вершины С опустим перпендикуляр СD

на противоположную грань ОАВ трехгранного угла, получим точку D.

3.Из точки D опустим перпендикуляр DN и DM на радиус ОА и ОВ. Затем соединим точку С с точками М и N прямыми СМ и СN.

4.Теперь применим теорему о трех перпендикулярах.

5.Аналогично докажем, что СМ ОВ

С

a

С

M

В

O

В

в

А

D

N

c

А

6.Поэтому угол CND-линейный угол с ребром ОА, а угол CMD- линейный угол дв угла COBA с ребром ОВ. 7.Но сферический угол и соответствующие ему двухгранный угол имеют одну и ту же меру угол CND=сф.углуА

угол CMD=сф.углуB

8.Рассмотрим треугольники NDC и MDC. Изобразим их отдельно на черчеже: А)Они по построению прямоугольные и

имеютобщий катет СD.

Выразим его изкаждого треугольника.

Из треугольника NCD: CD=NC*sinA CN*sinA=CM*sinB

Из треугольника MCD: CD=CM*sinB

Б)Теперь выразим CN и СМ через радиус сферы:

Рассмотрим треугольник СОМ и СОN изобразим их отдельно:

По доказанному они прямоугольне: угол М и N =90 ;

в)Но по свойству плоских углов трехгранного

угла ОАВС углы в треугольниках СОМ и СОN

равны соответствующим сторонам сферического А

С С

N

M

D D

С С

R

R

О N О

М

В)Но по свойству плоских углов трехгранного угла ОАВС углы в треугольниках СОМ и СОN равны соответствующим сторонам сферического треугольника АВС: т.е угол МОС=а; угол NOC=в,

поэтому :Из СОМ: СМ=ОС*sina, тогда из равенства получим: Из СОN: СN=OC*sinв ОС*sinв*sina=OC*sina*sinв.

Г)Разделим обе части полученного равенства на ОС: ОС*sinв*sina=OC*sina*sinв/:OC sinв*sina=sina*sinв

sina*sinВ= sinв*sinА получается: sina/sinА=sinв/sinВ.

9)Аналогично докажем, что sina/sinА=sinс/sinС и тогда из равенства получим: sina/sinА=sinв/sinВ=sinс/sinС .

Вывод: В сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противоположных углов.

Другие формулы сферической тригонометрии.

1)ctga*sinb=cosbcosC +sinC*ctgA-формула 4х элементов, т.к в неё входят 4 рядом расположенных элемента сферического треугольника.

Произведение котангенса крайней стороны на синус

внутренней стороны равно произведению косинусов

внутренних элементов, сложенному с произведением

синуса внутреннего угла С на котангенс крайнего угла.

2)Рассмотрим прямоугольный сферический треугольник.

Вы уже видели, что сторона а сферического треугольника АВС находится по формуле:

:cosа=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA,

поэтому ,если подставить в эту формулу значение функции угла А ,то получим:

cos a=cosb*cosc, т.е косинус гипотенузы полярного треугольника равен произведению косинусов катетов.

3)Площадь поверхности сферического треугольника .

Sсф.т=ПR^2*Э/180

Э=А+В+С-180

.

Формулы 5 и элементов.

1) sina*cosB=cosb*sinc-sinb*cosc*cosA - произведение синуса

стороны А на косинус прилежащего угла В равно произведению

косинуса стороны В, противолежащей углу В, на синус третьей

стороны С минус произведение стороны В на косинус третьей стороны С и на косинус угла А между ними.

2) sinA*cosb=cosB*sinc+sinB*cosC*cosa - произведение синуса угла А на косинус прилежащей стороны В равно произведению косинуса угла В, противолежащего этой стороне, на синус третьего угла С, сложенному с произведением синуса угла В на косинус угла С и на косинус стороны А между ними.

Знание формул

сферической тригонометрии необходимы астрономам для решения таких задач, как преобразование координат из одной системы небесных координат в другую, для расчёта долготы центрального меридиана планеты солнечной системы, для точного направления спутниковой антены на нужный спутник для приёма спутникового телевидения, а также они необходимы штурманам морских и космических кораблей, которые по звёздам определяют свои координаиы, строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, при геодезических съёмках больших поверхностей земли, так как необходимо учитывать её шарообразность.

• С ферическая тригонометрия оказалась настолько интересной и необычной, что даже многие писатели упоминают о ней в своих произведениях.
• Вот сценка из пьесы А. Островского «Бешеные деньги»

• А.Островский опередил М.Булгакова. В романе «Мастер и Маргарита» Коровьев говорит Маргарите и о сферической тригонометрии, и о пятом измерении , и объясняет тайны художественной магии: «Тем, кто знаком с пятым измерением, ничего не стоит раздвинуть помещение до желаемых размеров. Скажу даже больше- до чёрт знает каких размеров».
• А.Островский опередил М.Булгакова. В романе «Мастер и Маргарита» Коровьев говорит Маргарите и о сферической тригонометрии, и о пятом измерении , и объясняет тайны художественной магии: «Тем, кто знаком с пятым измерением, ничего не стоит раздвинуть помещение до желаемых размеров. Скажу даже больше- до чёрт знает каких размеров».

Вклад ученых исламского мира в развитие сферической тригонометрии

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал «Трактат о полном четырехугольнике» астронома Насирэддина ат-Туси (1201-1274).

Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

Вклад европейских математиков

Открытия ученых исламского мира долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы заново были открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким астрономом Региомонтаном (Иоганом Мюллером 1436-1476). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры)

Вклад европейских ученых

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретикус (1514-1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 году его учеником Ото.

Углы шли через 10”, синусы имели 15 верных цифр.

Вывод. М Ы познакомили вас с удивительным разделом математики - «Сферическая тригонометрия

.

Рассмотренные теоремы и формулы предшествовали аналогичным теоремам и формулам плоской тригонометрии, которая получила своё дальнейшее развитие, И сходя из всё возрастающих потребностей жизни.

Литература

• Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. Главный редактор М.Д. Аксенова.- М:Аванта+,1999.-688с.: ил.
• Математика: Школьная энциклопедия. Гл. ред. С. М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 1997. – 527 с.: ил.
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1993. – 352с.
• Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990. – 320с.
• Перельман Я. И. Занимательная геометрия. – ВАПАР, 1994. – 275с.
• М.К. ВЕНТЦЕЛЬ: Сферическая тригонометрия .Геодезиздат.