Презентация по математике на тему "Использование определенного интеграла при решении некоторых геометрических задач"

ИСААК НЬЮТОН

(1642–1727)

- английский математик и естество-испытатель, механик, астроном и физик, основатель классической физики;

- считается основоположником таких методов математического анализа как применение бесконечных рядов, дифференциальное и интегральное исчисление;

- ему принадлежат также много-численные сочинения по теологии, хронологии, алхимии и химии;

- Ньютон оказался вовлеченным в долгий спор с Г. Лейбницем о первенстве в создании математического анализа

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

(1646–1716)

- выдающийся немецкий философ и математик;

- изобрел счетную машину, которая могла извлекать корни, возводить в степень, умножать и делить;

- ввел в механику понятие кинетической энергии

- некоторые результаты Лейбница пришлось переоткрывать заново, так как его собственный труд был похоронен в грудах рукописей королевской библиотеки

Полную информацию смотрите в файле. 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Вычислить определенные интегралы

ВАРИАНТ №1

ВАРИАНТ №2

1.

1.

2.

2.

3. Метод замены

3. Метод замены

4. Интегрирование по частям

4. Интегрирование по частям

Использование определенного интеграла при решении некоторых геометрических задач

ПЛАН УРОКА

• Вычисление площадей плоских фигур Вычисление длины дуги кривой Вычисление объемов тел Вычисление площади поверхности вращения
• Вычисление площадей плоских фигур
• Вычисление длины дуги кривой
• Вычисление объемов тел
• Вычисление площади поверхности вращения

1. Вычисление площадей плоских фигур

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ СЛЕДУЮЩИХ ФИГУР?

b

h

а

а

а

S = ½a ∙h

S = a 2

S = a ∙b

5

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ СЛЕДУЮЩИХ ФИГУР?

b

R

h

h

а

а

S = a ∙h

S = ½(a+b) ∙h

S = π ∙R 2

6

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ?

S = S 1 +S 2 +S 3 +S 4 +S 5 +S 6

6

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ?

S = ?

6

ИСААК НЬЮТОН

(1642–1727)

• английский математик и естество-испытатель, механик, астроном и физик, основатель классической физики;
• считается основоположником таких методов математического анализа как применение беско- нечных рядов, дифференциаль-ное и интегральное исчисление;
• ему принадлежат также много-численные сочинения по теоло-гии, хронологии, алхимии и химии;
• Ньютон оказался вовлеченным в долгий спор с Г.Лейбницем о первенстве в создании математического анализа

6

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ 

ЛЕЙБНИЦ

(1646–1716)

• выдающийся немецкий философ и математик;
• изобрел счетную машину, которая могла извлекать корни, возводить в степень, умножать и делить;
• ввел в механику понятие кинетической энергии
• некоторые результаты Лейбница пришлось переоткрывать заново, так как его собственный труд был похоронен в грудах рукописей королевской библиотеки

6

0), прямыми х = а, х = b и у = 0 у у = f(x) S = ? а b у = 0 х 0 11 " width="640"

ЗАДАЧА 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x) (f(x)0), прямыми х = а, х = b и у = 0

у

у = f(x)

S = ?

а

b

у = 0

х

0

11

0

х

ЗАДАЧА 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x) (f(x) у = 0

а

b

у = 0

S = ?

у = f(x)

у

12

ЗАДАЧА 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x), прямыми х = а, х = b и у = 0

у

у = f(x)

b

а

у = 0

0

х

13

-

ЗАДАЧА №4. Записать формулу нахождения площади заштрихованной фигуры

у

у = f(x)

+

+

-

e

b

х

а

c

d

0

14

ЗАДАЧА 5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = f(x) , у = g(x) (f(x) ≥ g(x)) и прямыми х = а, х = b

у

у = f(x)

у = g(x)

а

b

х

0

15

ПРИМЕР №1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 , у=0, х=2 и х=3

Решение

у

у = х 2

х

2

3

16

ПРИМЕР №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = ( ⅓ )х 3 , х = -1, х = 2 и у = 0

Решение

у = ( ⅓ )х 3

у

-1

х

2

17

ПРИМЕР №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 7х 2 - 9у + 9 = 0 и 5х 2 - 9у + 27 = 0

Решение:

у

1) (0; 1) и (0; 3) – вершины парабол

у =(5/9)х 2 +3

у =(7/9)х 2 +1

2)

х 1 = –3, х 2 = 3 –абсциссы точек пересечения

3

3)

1

3

-3

х

4)

18

ЗАДАЧА №6. Найти длину дуги от точки А(а; с) до

В(b; d), если кривая на плоскости задана уравнением или

2. Вычисление длины дуги кривой

у

1) Если , то

В

d

А

c

2) Если , то

b

a

х

0

19

ПРИМЕР №4. Найти длину окружности х 2 + у 2 = r 2

Решение:

у

r

0

х

20

ЗАДАЧА №7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Oy) криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) и прямыми у = 0, х = а и х = b

3. Вычисление объемов тел вращения

2) вокруг оси Оу

1) вокруг оси Ох

у

у

у = f(x)

у = f(x)

х

а

х

b

0

b

а

0

21

ПРИМЕР №5. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = 4 и у = 0 вокруг оси Оу

у

4

1

0

х

22

ЗАДАЧА №8. Найти площадь поверхности вращения дуги кривой, заданной функцией у=f(x), a  x  b, (x=  (y), c  y  d) вращающейся вокруг оси Ох (оси Оу)

4.Вычисление площади поверхности вращения

у

у = f(x)

b

а

х

0

23

Пример №6. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой х 2 = у + 2, у = 1 вокруг оси Оу

Решение:

у

у=1

х

0

-2

24

задание на самоподготовку

Шипачёв В.С. Задачник по высшей

математике:

стр.106 - 114, разобрать примеры,

выполнить № 290, 308, 319, 341.

24