Презентация по математике "Методы решения систем линейных уравнений"

1) Метод подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

2) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из переменных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

3) Метод Гаусса.

Идея метода. Последовательно исключаются переменные, а затем система решается с «конца».

4) Метод Жордана-Гаусса.

Идея метода. Последовательно полностью исключаются переменные, и нет необходимости решать систему с «конца».

7) Метод линейной комбинации уравнений.

Идея метода. Путем линейных комбинаций с уравнениями системы получают простое уравнение-следствие, используя которое можно быстро «раскрутить клубок» уравнений.

Методы решения систем линейных уравнений

Работа педагога дополнительного образования

МБОУ ДОД ДДТ

г.Зверево

ростовской области

Куца Фёдора Ивановича.

1) Метод подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

Решить систему уравнений

Ответ. (3;1).

2) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из переменных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

Решить систему уравнений

Уравняем модули коэффициентов при переменной величине у, для этого первое уравнение умножим на 3, а второе на 2.

Сложив первое уравнение со вторым, получаем:

Ответ. (1;2).

3) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Идея метода. Если главный определитель системы  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть определено по формулам:

х = , у = , где и - определители, которые получаются

путем замены 1–го и 2-го столбца свободными членами.

Решить систему уравнений

Найдем определитель системы  = = 5∙(-3) - 7∙2 = -15 - 14 = -29.

Так как  ≠ 0, то система имеет единственное решение.

Определим и .

= = 9∙(-3) - 1∙2 = -27 – 2 = -29.

= = 5∙1 - 7∙9 = 5 - 63 = -58.

Теперь найдем решение системы.

х = = = 1, у = = = 2.

Ответ. (1;2).

4) Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы .

Идея метода . А Х = В (1) – система записана в матричной форме, где А – матрица из коэффициентов при неизвестных, а В и Х - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица А – невырожденная, т.е. определитель системы  = |А| ≠ 0, то, умножая обе части уравнения (1) на матрицу А -1 слева, получаем решение системы в матричной форме: А -1 АХ =А -1 В, Х = А -1 В.

Решить систему уравнений

Найдем определитель системы  = = 1∙(-3) - 1∙3 = -3 - 3 = - 6.

Так как  ≠ 0, то система имеет единственное решение.

Определим алгебраические дополнения.

А 11 =(-1) 1+1 ∙(-3) = -3, А 12 = (-1) 1+2 ∙1 = -1, А 21 = (-1) 2+1 ∙3 = -3, А 22 = (-1) 2+2 ∙1 = 1.

Запишем транспонированную матрицу А Т = = .

Найдем обратную матрицу А -1 = ∙ А Т = ∙ = .

Переходим к решению системы.

Х = = ∙ = = .

Ответ. (5;-1).

5) Метод Гаусса.

Идея метода . Последовательно исключаются переменные, а затем система решается с «конца».

Решить систему уравнений

Переставим местам первое и третье уравнения системы

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего уравнения удвоенное первое.

Прибавим к третьему уравнению второе

Решаем систему с «конца».

Ответ. (1;2;3).

6) Метод Жордана-Гаусса.

Идея метода . Последовательно полностью исключаются переменные, и нет необходимости решать систему с «конца».

Решить систему уравнений

Переставим местам первое и третье уравнения системы:

Вычтем из второго уравнения первое,

из третьего уравнения - удвоенное первое:

Вычтем из первого уравнения второе,

прибавим к третьему уравнению второе:

Разделим третье уравнение на (-4):

Вычтем из первого уравнения утроенное третье,

прибавим ко второму уравнению третье:

Ответ. (1;2;3).

7) Метод линейной комбинации уравнений.

Идея метода. Путем линейных комбинаций с уравнениями системы получают простое уравнение-следствие, используя которое можно быстро «раскрутить клубок» уравнений.

Решить систему уравнений

Сложим уравнения системы:

( 2x + y + z) + (x +2y + z ) + (x + y +2z) = 7 + 8+ 9,

(2х + х + х)+ (у + 2у + у) + (z + z + 2z) = 24,

4(x +y +x) = 24, x + y + z =6.

Полученное уравнение вычтем поочередно из 1-го, 2-го и 3-го уравнений исходной системы:

(2x +y + z) – (x + y +z) = 7 – 6, х = 1.

(x + 2y + z) – (x + y + z) = 8 – 6, у = 2.

(x + y + 2z) – (x + y + z) = 9 – 6, z = 3.

Ответ. (1;2;3).

8) Графический способ.

Идея метода . Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы.

8) Графический способ.

1 ) Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.

Решить систему уравнений

Так как уравнение 3х – 6у = 6 получается

из уравнения х – 2у = 2 умножением его

обеих частей на 3, то эти уравнения выражают

одну и ту же зависимость между х и у.

Следовательно, графиками этих уравнений

является одна и та же прямая. Это означает,

что система имеет бесконечно много

решений: координаты любой точки прямой

х – 2у = 2 являются решением данной системы.

Ответ. Система уравнений имеет бесконечно много решений.

8) Графический способ.

2 ) Прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек. Тогда система уравнений не имеет решений.

Решить систему уравнений

Так как коэффициенты при х и у

пропорциональны , а свободные нет,

то прямые параллельны, т.е. не имеют

общих точек.

Ответ. Система уравнений не имеет решений.

8) Графический способ.

3 ) Прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет единственное решение.

Решить систему уравнений

Выразим в каждом уравнении переменную у через х:

Постоим графики уравнений.

Прямые у = х +1 и у = 4 – 2х

пересекаются в одной точке (1;2).

Проверка показывает, что пара (1;2)

является решением системы уравнений.

Ответ. (1;2).

ЛИТЕРАТУРА .

1. Алгебра,7 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений /[Ш.А. Алимов, Ю.М. Калягин Ю.В.Сидоров и др.]- 17-е изд.- М. :Просвещение, 2010.

2.Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом / А.А.Черняк, Ж.А.Черняк.- Волгоград: Учитель,2012.

3.Методы решения задач по математике: Пособие для поступающих в НПИ. Ч1 / Ред. журн. « Изв. вузов. Электромеханика». Новочеркасск,1993.