Презентация по математике "Композиция функций"

Цели работы:

- Разобраться, что такое композиция функций, и как применить это новое понятие на практике.

- Потренироваться в решении заданий с функциональными уравнениями и с построениями графиков.

- Закрепить пройденный материал по производным.

- Заинтересовать учащихся, привлечь их внимание к данной теме.

Определение функции.

Функция – соответствие между множествами Х и У, при котором каждому элементу первого множества Х соответствует не более одного элемента другого множества У.

Композиция функций – сложная функция – сложенная функция.

Формула для задания сложной функции.

y=f(g(x)) – сложная функция.

g(x) – внутренняя функция.

f(t) – внешняя функция.

Пример.

у=√х²-4

g(x) = х² - 4 – внутренняя функция.

f(t) =√t – внешняя функция.

Композиция функций

Работу выполнили

ученики 10 б класса

Руководитель Фомичёва Валентина Николаевна

Цели работы

• Разобраться, что такое композиция функций, и как применить это новое понятие на практике
• Потренироваться в решении заданий с функциональными уравнениями и с построениями графиков
• Закрепить пройденный материал по производным
• Заинтересовать учащихся, привлечь их внимание к данной теме

Определение функции

Функция – соответствие между множествами Х и У, при котором каждому элементу первого множества Х соответствует не более одного элемента другого множества У.

f(x)

y=f(x)

у 0

x 0

X

Y

y 0

x 0

y 0 =f(x 0 )

Композиция функций – сложная функция – сложенная функция

f(t)

g(x)

у 0

t 0

x 0

Y

T

X

y

y 0

x 0

t 0

4

Формула для задания сложной функции

Пример.

y=f(g(x)) –

– сложная функция

g(x) – внутренняя функция

g(x) = х 2 - 4 – внутренняя функция

f(t) = – внешняя функция

f(t) – внешняя функция

Примеры:

Внешняя функция

Внутренняя функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

Законы композиции функций

• Сочетательный закон остается в силе:
• [( f ∘ g )∘ h ]( x )=( f ∘ g )( h ( x ))=
• =f ( g ( h ( x )))  ,
• [ f ∘( g ∘ h )]( x )= f [( g ∘ h )( x )]=
• = f ( g ( h ( x ))) 
• Распределительный закон распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:
• f ∘( g + h )=( f ∘ g )+( f ∘ h ) 
• ( g + h )∘ f =( g ∘ f )+( h ∘ f ) 
• и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

• Переместительный закон f ∘ g = g ∘ f   выполняется не для всех функций

f(5) = = -f(-5)= -1,5 Ответ: -1,5 " width="640"

Функциональные уравнения

Рассмотрим задачи, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция.

• Пример 1

F(x) – нечетная и периодическая с периодом T = 10

Найти f(2015), если f(-5) = 1,5

Решение:

Используем периодичность функции f(x). Тогда f(2015) = f(5+10*201) = f(5) Так как f(x) нечетная, то f(-x) = -f(x) = f(5) =

= -f(-5)= -1,5

Ответ: -1,5

Решение функциональных уравнений методом подстановки

• Пример 1

Найти

Решение: Введем подстановку.

Пусть , тогда ,

• Пример 2

f=kx , x-c a, c, k – постоянные. Найти f(x)

Пусть = t a+x=(c+x)t f(t) =

x-xt=ct-a f(x) = k, где х1

x= а

Примеры для самостоятельного решения

• Известно, что функция - чётная и Найдите значение
• Известно, что функция -нечётная и Найдите значение
• С2(из теста №1 для 10 класса по теме «Функция. Область определения и область значений функции» Известно, что Найдите функцию
• Известно, что Найдите функцию

Производная композиции функций

Другие производные

Дана функция где

Её производная

Для доказательства применили метод математической индукции

=

• Доказали, что

Правило нахождения производной композиции функций

Производная сложной функции равна произведению

производной внешней функции

на производную внутренней функции

Найти производную функции

• Производная от данной функции сначала берется как от степенной, а затем как от тригонометрической функции:

Применение производной композиции функций для построения графика

x

x

-2

-2

2

2

--

--

--

--

0

0

0

0

• Область определения функции:

D(y) = (-∞; -2] U [2; +∞)

Функция четная

D(y’) = (-∞; -2) U (2; +∞)

y

0

-2

2

x

Справочная литература

Мордкович А.Г., Смирнова И.М. «Математика (базовый уровень)» 10 кл., 11 кл, издательство «Мнемозина».

Мордкович А.Г. «Алгебра и начала математического анализа 10-11» издательство «Мнемозина»

Колмогоров А.Н. и др . «Алгебра и начала математического анализа 10-11» издательство «Просвещение»

Дополнительную информацию можно найти на сайтах:

1. http://www.fipi.ru

2. http://www.mathege.ru

3. http://www.reshuege.ru …

4. http://mon.gov.ru/pro/fgos

http://matematikalegko.ru/proizvodnaya-pervoobraznaya/fizicheskij-smysl-proizvodnoj-zadachi-na-skorost.html   http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/derivative.php?part=2&example=3 http://uslide.ru/algebra/12373-proizvodnaya-slozhnoy-funkcii.html http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/derivative.php?part=2&example=5 http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=17  

14

Спасибо за внимание!