Презентация по информатике на тему "Задачи символьной алгебры в пакетах символьной математики"

MatLab — одна из тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении МАТРИЧНЫХ операций.

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

- операции с матрицами;.

- сравнение матриц;

- решение линейных уравнений;

- разложение операторов и поиск собственных значений;

- нахождение обратной матрицы;

- поиск определителя;

- вычисление матричного экспоненциала;

- элементарная математика;

- функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;

- основы статистики и анализа данных;

- поиск корней полиномов;

- фильтрация, свертка;

- быстрое преобразование Фурье (FFT);

- интерполяция;

- операции со строками;

- операции ввода-вывода файлов и т. д.

Полную информацию смотрите в файле. 

Задачи матричной алгебры в пакетах символьной математики. Примеры

MatLab

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

• MatLab — одна из тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении МАТРИЧНЫХ операций.

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

• операции с матрицами;.
• сравнение матриц;
• решение линейных уравнений;
• разложение операторов и поиск собственных значений;
• нахождение обратной матрицы;
• поиск определителя;
• вычисление матричного экспоненциала;
• элементарная математика;
• функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;
• основы статистики и анализа данных;
• поиск корней полиномов;
• фильтрация, свертка;
• быстрое преобразование Фурье (FFT);
• интерполяция;
• операции со строками;
• операции ввода-вывода файлов и т.д.

Матрицы MATLAB

• В MatLab можно использовать скаляры, векторы и матрицы. Для ввода скаляра достаточно приписать его значение какой-то переменной, например

• Заметим, что MatLab различает заглавные и прописные буквы, так что p и P — это разные переменные. Для ввода массивов (векторов или матриц) их элементы заключают в квадратные скобки. Так для ввода вектора-строки размером 1×3, используется следующая команда, в которой элементы строки отделяются пробелами или запятыми.

• При вводе вектора-столбца элементы разделяют точкой с запятой. Например,

• Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. При вводе матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, каждый элемент которого является вектором-строкой.

• или матрицу можно трактовать как вектор строку, каждый элемент которой является вектором-столбцом

Доступ к элементам

• Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов — номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например, команда B(2,3) выдаст элемент второй строки и третьего столбца матрицы B.
• Для выделения из матрицы столбца или строки следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием. Например, запишем вторую строку матрицы A в вектор z

• Также можно осуществлять выделение блоков матриц при помощи двоеточия. Например, выделим из матрицы P блок отмеченный цветом

• Если необходимо посмотреть переменные рабочей среды, в командной строке необходимо набрать команду  whos .
• Видно, что в рабочей среде содержатся один скаляр (p), четыре матрицы (A, B, P, P1) и вектор-строка (z).

Основные матричные операции

• При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы.

Умножение в MATLAB

• Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева. Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^

MatLab содержит множество различных функций для работы с матрицами. Так, например, транспонирование матрицы производится при помощи апострофа  '

Нахождение обратной матрицы проводится с помощью функции  inv  для квадратных матриц

Основное окно программы MATHCAD:

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ В МАТКАД. Панель матриц

Окно ввода Insetrt Matrix (ввести матрицу).

Шаблон матрицы

Над векторами определены показанные на рисунке операции сложения и вычитания, транспонирования, умножения по математическим правилам умножения матриц. Знак транспонирования следует вводить с панели Matrix (матрица). Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Нижняя граница индексации задается значением системной переменной ORIGIN, которая может принимать значение 0 или 1.

• Задача 1. Ввести все векторы рис.5 и произвести над ними все действия, проведенные на рисунке.
• Матрицы в Маткаде вводятся так же, как и векторы, но число столбцов в них больше единицы. Элементами матрицы могут быть также числа, буквы, выражения. Как и в случае векторов, буквенные элементы и элементы – выражения должны быть предварительно определены численно. На рисунке показаны различные способы ввода матриц.

Команды панели Matrix:

• кнопка индексации элементов матрицы,

• кнопка обращения матрицы,

• кнопка скалярного произведения векторов и матриц
• кнопка транспонирования матрицы,

• кнопка векторного произведения двух векторов

• кнопка сложения векторов

• кнопка выделения столбца матрицы

• кнопка вычисления детерминанта матрицы.

Maple

Определение матрицы:

• matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…,[an1,an2,…,anm]]),

• где n − число строк, m – число столбцов в матрице.

A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]); A:= 1 2 3 -3 -2 -1 " width="640"

Например:

• A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

• A:= 1 2 3
• -3 -2 -1

J:=diag(1,2,3); 1 0 0 J:= 0 2 0 0 3 0 " width="640"

Диагональная матрица:

• J:=diag(1,2,3);

1 0 0

• J:= 0 2 0

0 3 0

• Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от
• переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n -
• число строк, m – число столбцов.
• A:=matrix(2,3,f);
• xy xy^2 xy
• A:= x^2y x^2y^2 x^2y^3

• Число строк в матрице А можно определить с помощью команды
• rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами.

• Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется
• теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:
• 1) evalm(A&*B);
• 2) multiply(A,B).

A:=matrix([[1,0],[0,-1]]); B:=matrix([[-5,1], [7,4]]); " width="640"

• В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

v:=vector([2,4]); v := [2,4] multiply(A,v); [2,−4] " width="640"

• A= 1 0 B:= -5 1

0 -1 7 4

v:=vector([2,4]);

v := [2,4]

• multiply(A,v);
• [2,−4]

С:=matrix([[1,1],[2,3]]): evalm(2+3*С); 5 3 6 11 " width="640"

• multiply(A,B); matadd(A,B);

-5 1 -4 1

-7 -4 7 3

• Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:
• С:=matrix([[1,1],[2,3]]):
• evalm(2+3*С);
• 5 3

6 11