Построение треугольника по трем элементам

Цель урока:

• рассмотреть задачи на построение треугольника по трем

элементам;

• совершенствовать навыки решения задач на построение.

напоминание.

Задача 1 : на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Решение.

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ.

Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О . Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D .

С

С

Отрезок OD – искомый .

С

А

В

О

D

О

Задача 2: отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение.

Изобразим фигуры, данные в условии: угол с вершиной А и луч ОМ.

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

О

М

А

В

С

А

Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность с центром D , радиус, которой равен ВС. Окружности пересекаются в

двух точках. Одну обозначим

буквой Е. Получим угол МОЕ

E

D

О

М

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение:

Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 угол h к .

Р 1 Q 1

Р 2 Q 2 h

к

Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р 1 Q 1

и Р 2 Q 2 , а угол А между этими сторонами равен данному углу h к.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ , равный отрезку Р 1 Q 1

Затем построим угол ВАМ, равный данному углу h к . (как это сделать, мы знаем).

На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку Р 2 Q 2 , и проведем отрезок ВС.

Построенный треугольник АВС — искомый.

В самом деле, по построению АВ= Р 1 Q 1 , АС= Р 2 Q 2 ,  А =  h к.

Построенный треугольник АВС — искомый.

В самом деле, по построению АВ= Р 1 Q 1 , АС= Р 2 Q 2 ,

 А =  h к.

С

А

В

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 и данном неразвернутом угле h к искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 2

Построить треугольник по стороне и двум

прилежащим к ней углам.

Р 1 Q 1

h m

к п

C

a

A B

как выполнялось построение?

всегда ли задача имеет решение?

Задача 3

Построить треугольник по трем его сторонам .

Решение.

Пусть даны отрезки Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 и Р 3 Q 3 . Требуется построить треугольник АВС, в котором

АВ = Р 1 Q 1 , AC= Р 2 Q 2 , BC= Р 3 Q 3 .

Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р 1 Q 1 . Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом Р 2 Q 2. ,

а другую — с центром В и радиусом Р 3 Q 3 .

Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС .

Р 1 Q 1

Р 2 Q 2

Р 3 Q 3

C

A B а

Построение треугольника по трем сторонам.

Построенный треугольник АВС, в котором

АВ = Р 1 Q 1 , AC= Р 2 Q 2 , BC= Р 3 Q 3 .

В самом деле, по построению АВ = Р 1 Q 1 ,

AC= Р 2 Q 2 , BC= Р 3 Q 3 , т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.

Задача 3 не всегда имеет решение.

Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам .

Итог урока .

Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Она состоит из частей:

1 . Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

2. Выполнение построения по намеченному плану.

3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений .

№ 286

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла .

Решение .

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС, равна данному отрезку P 1 Q 1 , угол А равен данному

углу h к, а биссектриса А D этого треугольника равна данному

отрезку P 2 Q 2 .

Даны отрезки P 1 Q 1 и P 2 Q 2 и угол h к (рисунок а).

P 1 Q 1 P 2 Q 2

h

рисунок а

к

Построение (рисунок б).

1) Построим угол ХАУ, равный данному углу h к.

2)На луче АУ отложим отрезок АС, равный данному отрезку P 1 Q 1 .

3)Построим биссектрису А F угла ХАУ.

4) На луче А F отложим отрезок А D , равный данному отрезку Р 2 Q 2

5) Искомая вершина В — точка пересечения луча АХ с прямой С D . Построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: АС=Р 1 Q 1 ,

 А =  h к, А D = Р 2 Q 2 , где А D — биссектриса треугольника АВС.

Вывод : построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи:

AC= P 1 Q 1 ;  A=  hk, AD= P 2 Q 2 ,

где AD - биссектриса треугольника АВС

рисунок б

р

X

F

B

D

С

Y

А

Домашнее задание .

Вопросы: 19,20 стр. 90.

№ 287, 289.

Желаю

успехов в изучении геометрии!!!