Понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного

Что такое математическое мышление? К сожалению, в настоящее время в психологии мышления не выявилось единого подхода к трактовке мышления, к объясне-нию тех «механизмов», которые им управляют. В педагогической психологии отсутствует общепринятая концепция, на основе ко-торой обучение и развитие школьников (в частности, математиче-ские обучение и развитие) могло быть организовано заведомо эф-фективно. В современной психологии мышление понимается как «соци-ально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практи-ческой деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы». Известно, что всякая познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий, переходя затем в мышление (сначала на 1 уровне представлений, а затем на уровне понятий). Понятия, вы-ступая одновременно и как формы отражения реальных объектов, и как средства мысленного, идеализированного их воспроизведе-ния, конструирования (т. е. как особое мыслительное действие), образуют микроэлементы научного знания. Человек продолжает познавать окружающий мир опосредованно, выявляя такие свой-ства изучаемого реального объекта и такие его связи с другими объ-ектами, которые им непосредственно не воспринимаются, не ощущаются и не наблюдаются. Так возникают элементы научного знания. «Науки в их современном виде... не имеют своим пред-метом сами вещи и их непосредственные проявления. Их познание требует построения специальных теоретических абст-ракций, выделения какой-либо определенной связи вещей и превращения ее в особый предмет изучения». Тем самым расширяется круг познания человеком различных явлений реальной действительности, что в свою очередь ведет к рас-ширению его восприятий и представлений. Под математическим мышлением будем пони-жать, во-первых, ту форму, в которой проявляется диалектиче-ское мышление в процессе познания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математики в других науках, технике, народном хозяйстве и т. д.; во-вторых, ту специфику, которая обусловлена самой природой мате-матической науки, применяемых ею методов познания явлений реальной действительности, а также теми общими приемами мыш-ления, которые при этом используются. Очевидно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем «учить специфически человеческому мышлению - значит учить диалектике...». Последнее характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, един-ства, взаимосвязи и взаимозависимости понятии и соотношений. Мыслить диалектически, кроме того, означает проявлять способ-ность к нешаблонному разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проб-лем; для диалектического мышления характерны также понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного. Одной из разновидностей диалектического мышления является мышление научно-теоретическое (или мышление абстрактное). От-мечая, что «все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее». В.В. Давыдов, исследовавший вопросы формирования научно-теоретического мышления у школьников, показал, что «лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление мо-жет истинно отразить свой объект, которое выступает как логи-ческое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики... Так, лишь задавая человеку содержатель-ное обобщение, можно полагать, что он будет ориентиро-ваться именно на существенные свойства вещи и вычленять их из массы несущественных свойств, т. е. будет обладать «чутьем про-цесса». Критерий же такого обобщения (как и всех других катего-рий) формулирует диалектическая логика, высту-пающая тем самым и главным «критерием» теоретиче-ского мышления...» Таким образом, полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое. Математическое мышление, являясь мышлением диалектиче-ским, есть вместе с тем мышление естественнонаучное и потому обладает многими свойствами, присущими последнему. Естественнонаучное мышление может быть охарактеризовано со стороны соответствующих ему умений осуществлять поэтапное решение научных проблем. Совокупность таких умений определяет так называемый естественно научный метод познания, который состоит из следующих элементов: понимание проблемы; точное определение ее и отграничение от других проблем; изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой; планирование поиска решения проблемы; выбор наиболее вероятной гипотезы; планирование и проведение эксперимента по проверке гипотезы; проведение контрольного эксперимента; выводы и их обоснование, выбор оптимального способа решения; распростра-нение выводов на новые ситуации, в которых действуют те же фак-торы. Многие конкретные методы обучения естественным наукам разрабатываются в соответствии с ее указанным методом познания; ха-рактеристика его основных этапов, специфика соответствующих этим этапам умений могут и должны учитываться и в обучении ма-тематике, в частности при постановке учебных математических задач с прикладной направленностью. О качествах научного (математического) мышления Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. Прежде всего, отметим, что математическое мышление часто характеризуют проявлением так называемых математических спо-собностей. В психолого-дидактической и методической литературе в структуру математических способностей включаются многие ка-чества мыслительной деятельности, именуемые либо как собствен-но математические способности (В. А. Крутецкий), либо как особенности мышления ма-тематика (А. Н. Колмогоров), ибо как качества ума (К. К. Платонов), либо как компонен-ты обучаемости (3. И. Калмыкова) и т.д. Существует общее мнение об активной работе в процессе мате-матического мышления определенных качеств мышления (напри-мер, гибкость, пространственное воображение, умение выделять существенное и т. д.), которые в равной степени могут быть соот-несены как к математическому мышлению, так и к мышлению фи-зическому, техническому и т. д., т. е. к научному мышлению вообще. Эти особенности мышления мы будем называть качества-ми научного мышления. Они представляют особую дидактическую значимость: формирование их у школьников способ-ствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла. Последняя мысль подтверждается результатами исследований советского педагога Ю. К. Бабанского, показавшего, что успеш-ность учения школьников тесно связана с сформированностыо y них таких качеств мышления, как самостоятельность мышления (коэффициент корреляции 0,89), умение выделять существенное (0,87), рациональность мышления (0,85), гибкость мышления (0,85), логичность речи (0,85), критичность мышления (0,84), зависимость успешности учения от уровня развития памяти и внимания оказалась меньшей. К числу таких качеств научного мышления относятся гиб-кость (нешаблонность), оригинальность, глуби-на, целенаправленность, рациональность, широта (обобщенность), активность, критичность, доказа-тельность мышления, организо-ванность памяти, четкость и лаконичность речи и записи. Все эти качества мышления сильно кор-релируют друг с другом, часто выступают в органическом единстве. Поэтому ранжи-рование их по значимости весьма затруд-нительно, да и вряд ли целесообразное ди-дактической точки зрения. Важнее попытаться охарактеризовать их проявления практически. Будем считать характерным для проявления гибкости мышле-ния умение целесообразно варьировать способы решения познава-тельной проблемы, легкость перехода от одного пути решения про-блемы к другому; умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблем при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта. Таким образом, гибкость мышления обнаруживается в быстро-те ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в из-вестном, выделять существенное, выступающее в скрытой форме. Интересно отметить, что А. Эйнштейн указывал на гибкость мышления как на характерную черту творчества. Антиподом гибкости мышления является косность мышления, чаще называемая шаблонностью мышления или психологической инерцией. Знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного индивидуума «проторенным путям». Возникает предрасположение к какому-либо конкретному методу или образу мышления, желание следовать известной системе правил в процессе решения задач, - шаблонность мышления. Шаблонность мышления является весьма серьезной помехой изобретательству и вообще творческой деятельности; нередко шаблонность мышления выступает как следствие обучения. И действительно, опыт показывает, что шаблонность мышления весьма характерна для многих школьни-ков (как часто, например, школьники на-чинают решать незнакомую им задачу тем способом, который им «первым пришел в голову»). Именно на преодоление этого качества мышления направлены известные эвристики типа: «Забудь о том, что знаешь», «Помни, что методов много, а не один», «Не иди по прото-ренному пути» и т. п. С шаблонностью мышления связан и эффект, называемый функ-циональной устойчивостью, согласно которому в большинстве случаев объекты, используемые в данной ситуации в обычных для них функциях, не используются в новом качестве.