Полигональное моделирование

ПОЛИГОНАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделирование трехмерных поверхностей полигональными сетками

Полигональные сетки (Polygonal meshes)

• Полигональные сетки – набор полигонов (граней), которые в совокупности формируют оболочку объекта

• Это стандартный способ визуального представления широкого класса объемных фигур Многие системы визуализации основаны на изображении объектов посредством рисования последовательности полигонов
• Это стандартный способ визуального представления широкого класса объемных фигур
• Многие системы визуализации основаны на изображении объектов посредством рисования последовательности полигонов

Достоинства полигональных сеток

• Основаны на простоте использования полигонов:

• Легко представлять и преобразовывать Обладают простыми свойствами
• Легко представлять и преобразовывать
• Обладают простыми свойствами

• Единственный вектор нормали Четко определенные внутренняя и внешняя области Простота рисования подпрограмма закрашивания полигонов или наложения текстуры на плоскую грань Полигональные сетки позволяют представлять трехмерные объекты практически любой степени сложности
• Единственный вектор нормали Четко определенные внутренняя и внешняя области
• Единственный вектор нормали
• Четко определенные внутренняя и внешняя области
• Простота рисования подпрограмма закрашивания полигонов или наложения текстуры на плоскую грань
• подпрограмма закрашивания полигонов или наложения текстуры на плоскую грань
• Полигональные сетки позволяют представлять трехмерные объекты практически любой степени сложности

Пример:

Монолитные объекты и тонкие оболочки

• Полигональные сетки позволяют задавать объекты двух типов:
• Монолитные (solid) объекты

• полигональные грани плотно примыкают друг к другу и ограничивают некоторое пространство
• полигональные грани плотно примыкают друг к другу и ограничивают некоторое пространство

• Примеры: куб, сфера
• Примеры: куб, сфера
• Примеры: куб, сфера
• Тонкие оболочки Полигональные грани примыкают друг к другу без ограничения пространства, представляя собой поверхность бесконечно малой толщины Пример: график функции z=f(x,y)
• Полигональные грани примыкают друг к другу без ограничения пространства, представляя собой поверхность бесконечно малой толщины Пример: график функции z=f(x,y)
• Пример: график функции z=f(x,y)

Примеры:

Вершины полигона

• Каждый полигон определяется путем перечисления его вершин
• Вершина задается при помощи перечисления ее координат в пространстве

Нормаль к полигону

• Вектор нормали задает направление перпендикуляра грани
• При рисовании объекта эта информация используется для определения того, сколько света рассеивается на данной грани

Нормали в вершинах и нормали в поверхностях

• Использование нормалей к грани плохо подходит для визуализации гладких поверхностей, например, сферы
• Удобнее оказывается связывать вектор нормали с каждой вершиной грани

• Такой способ упрощает процесс отсечения и процесс закрашивания гладких криволинейных форм
• Такой способ упрощает процесс отсечения и процесс закрашивания гладких криволинейных форм

Нормали в вершинах и нормали в поверхностях

• Нормаль является атрибутом вершины

Для быстродействия выгоднее хранить отдельную копию вектора нормали для каждой вершины

• Одна и та же вершина может входить в состав нескольких смежных граней

• Вывод: лучше хранить все вершины сетки (с их атрибутами) в отдельном массиве При задании граней указывать индексы используемых вершин
• Вывод: лучше хранить все вершины сетки (с их атрибутами) в отдельном массиве
• При задании граней указывать индексы используемых вершин

Возможные вариации

• Если полигональная сетка задается при помощи однотипных примитивов, например, треугольников, то можно представить грани в виде массива индексов вершин
• Необходимо выбирать структуры данных, наиболее подходящих для решения конкретной задачи

Лицевые и нелицевые стороны граней

• Каждая плоская грань (полигон) имеет две стороны:

• лицевую (видна извне объекта) нелицевую (видна изнутри объекта) В один момент времени с заданной точки видна только одна сторона грани
• лицевую (видна извне объекта)
• нелицевую (видна изнутри объекта)
• В один момент времени с заданной точки видна только одна сторона грани

• Снаружи монолитного объекта видны только лицевые грани Позволяет эффективно отбрасывать лицевые или нелицевые грани, что ускоряет процесс рисования
• Снаружи монолитного объекта видны только лицевые грани
• Снаружи монолитного объекта видны только лицевые грани
• Позволяет эффективно отбрасывать лицевые или нелицевые грани, что ускоряет процесс рисования

Определение видимой стороны грани

• Для определения стороны грани, повернутой к наблюдателю, OpenGL использует направление обхода вершин грани после проецирования

• Позволят выбрать направление обхода вершин лицевых граней
• Позволят выбрать направление обхода вершин лицевых граней

• Направление обхода нелицевых вершин будет противоположным Вершины всех граней сетки необходимо перечислять в одном и том направлении обхода, если смотреть на лицевую сторону граней
• Направление обхода нелицевых вершин будет противоположным
• Направление обхода нелицевых вершин будет противоположным
• Вершины всех граней сетки необходимо перечислять в одном и том направлении обхода, если смотреть на лицевую сторону граней

Обход сторон куба против часовой стрелки

Нахождение нормальных векторов (нормалей)

• Координаты нормалей для каждой вершины можно задавать:

• вручную (в процессе моделирования) вычислять аналитически (перпендикуляр к криволинейной поверхности, описываемой функционально) вычислять на основе полигональной сетки
• вручную (в процессе моделирования)
• вычислять аналитически (перпендикуляр к криволинейной поверхности, описываемой функционально)
• вычислять на основе полигональной сетки

Задание нормалей вручную

• Позволяет задать нормали к поверхности способом, лучшим с точки зрения дизайнера
• Основной недостаток – он очень утомителен и во многих случаях может быть заменен на методы автоматического генерирования нормалей

Редактирование нормалей в программе 3D Studio Max

Аналитический метод нахождения нормалей

• Для функционально заданных поверхностей вектор нормали по направлению совпадает с вектором градиента в точке поверхности

Вычисление нормалей для плоских граней полигональной сетки

• Для плоских граней сетки достаточно вычислить перпендикуляр к каждой грани и связать его с каждой из вершин этой грани

• Использование векторного произведения векторов, соединяющих соседние вершины граней
• Использование векторного произведения векторов, соединяющих соседние вершины граней
• Проблемы: Большие погрешности вычисления в случае выбора почти параллельных векторов Проблемы с гранями, имеющими больше 3 вершин
• Большие погрешности вычисления в случае выбора почти параллельных векторов
• Проблемы с гранями, имеющими больше 3 вершин

Метод Ньюэла для нахождения нормали к плоской грани

• Разработан Мартином Ньюэллом
• Решает указанные проблемы простого способа

Нахождение нормали к вершинам сетки, описывающим криволинейную поверхность

• Грани сетки, описывающей криволинейную поверхность, могут иметь общие вершины
• За вектор нормали в таких вершинах можно принять среднее арифметическое нормалей прилегающих граней

Свойства сеток

• Монолитность

• Совокупность грани сетки заключает в себе некоторое пространство
• Совокупность грани сетки заключает в себе некоторое пространство
• Связность

• Между любыми двумя вершинами сетки существует непрерывный путь вдоль ребер полигонов
• Между любыми двумя вершинами сетки существует непрерывный путь вдоль ребер полигонов
• Между любыми двумя вершинами сетки существует непрерывный путь вдоль ребер полигонов
• Простота Сетка является монолитной и не содержит отверстий
• Сетка является монолитной и не содержит отверстий
• Плоскостность Каждая грань сетки является плоским полигоном
• Каждая грань сетки является плоским полигоном
• Выпуклость Отрезок прямой, соединяющий любые две внутренние точки объекта целиком лежит внутри него
• Отрезок прямой, соединяющий любые две внутренние точки объекта целиком лежит внутри него

Моделирование поверхностей вращения

• Поверхность вращения образуется посредством вращательной развертки с заметанием профильной кривой C вокруг некоторой оси

• Тор Пешка Сфера Купол церкви Рюмки, тарелки Колба лампы накаливания
• Тор
• Пешка
• Сфера
• Купол церкви
• Рюмки, тарелки
• Колба лампы накаливания

Создание поверхности вращения

Поверхности на базе функций двух переменных

• Некоторые поверхности однозначны в одном измерении, поэтому могут быть явно выражены функции двух независимых переменных
• Такие функции еще называют полем высот и задают в виде формулы следующего типа:

• y=f(x, z)
• y=f(x, z)
• Для визуализации таких поверхностей обычно вычисляют значение y в узлах равномерной сетки вдоль осей x и z, а затем рисуют последовательность ячеек полученной сетки

Пример поверхности заданной, функцией sinc с круговой симметрией