«Геометрическая вероятность»
Данные задачи могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам.
Составитель: учитель математики первой квалификационной категории Прохорова Марина Олеговна - МОУ «Санаторная школа-интернат №10» г.Ярославль
Основные теоретические сведения
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.
Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.
Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).
Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:
найти число N всех возможных исходов данного опыта;
найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.
Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.
Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве — это отношение мер данных объектов.
Задачи
Задача 1: найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.
Решение: Событие А - точка Х ближе к точке N, чем к M,
Р(А) – вероятность наступления события А.
Пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.
Тогда 
.
Ответ: 0,5
(Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков).
Задача 2: из отрезка 
случайным образом выбирается число х. Найдите вероятность того, что а) х0,7; б)х≤0,3 или х≥0,5.
Решение: Событие А – а) х0,7; б) х≤0,3 или х≥0,5 на отрезке,
Р(А) – вероятность наступления события А.
а)
;
б) 
.
Ответ: а)0,3; б)0,8
Задача 3: Вернувшись из отпуска, Иван Иванович обнаружил, что стенные часы давно остановились. Найдите вероятность того, что время, которое показывают стоящие часы, отличается от действительного времени не больше чем на 30 минут.
Решение: Событие А – часы отстают от действительного времени не больше чем на 30 мин,
Р(А) – вероятность наступления события А.
30 мин = 
Ответ: 
.
Задача 4: Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России?
Решение: (Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.)
Событие А – выбранная точка окажется в России,
Событие В – выбранная точка окажется на карте,
, где Р – вероятность, а S – площадь.
Задача 5: внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.
Решение: Событие Е – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см,
Р(Е) - вероятность наступления события Е.
(Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно).
Тогда 
Ответ: 
Задача 6: точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем 
?
Решение: Событие А – точка будет находиться на расстоянии не больше чем ,
Р(А) – вероятность наступления события А.
Чтобы точка была удалена от границы квадрата не более чем на , она должна принадлежать внутреннему квадрату G.
Ответ: 
Задача 7: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?
Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других.
Таким образом, для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника. Треугольники MNK и ABC подобны с коэффициентом подобия 0,5.
.
Ответ: 
Задача 8: Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?
Решение: Обозначим за х и у время прихода. Тогда 0≤х,у≤60 (минут). 
В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС.
Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть
y−xyx,
x−yxy.
Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным.
Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата ОАВС:
P(A)=
Ответ: 0,16.
Задача 9: : согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.
Решение: воспользуемся геометрическим методом.
Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком [0;1]. Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х.
0,1X
Найдем вероятность этого события: 
.
Ответ: 0,8.
Задача 10: (проблемная задача) в одном из лесных хозяйств Иркутской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.
Решение: Событие А – распыляемая жидкость попадет в область пожара,
Р(А) – вероятность наступления события А.
,
Р(А) =
= 
Ответ: 
Получите свидетельство
Вход
Подборка комбинаторных задач по математике на тему «Геометрическая вероятность» (0.11 MB)
0
3332
366
Нравится
0
