Площади поверхностей и объёмы геометрических тел

Перед началом занятия я предлагаю сложить из бумаги оригами, журавлика (прил1.)  Здравствуйте ребята! Сегодня я  проведу с вами урок наглядной  геометрии по теме « Площади поверхностeй и объёмы геометрических тел». Занятие практическое.

Цели занятия:

1.Научиться правильно и математически грамотно выводить формулы для площадей и объёмов тел.    

2.Развивать практические навыки  при проведении опытов.

3.Воспитывать аккуратность и  скрупулезность  при проведении урока. 

4.Наглядно  продемонстрировать практический вывод формул для площадей и  объёмов геометрических тел.

Давайте вспомним:

1.Чему равна площадь круга?

2.Чему равен объем куба с ребром «а»?

3.Чему равен объем призмы?

4.Чему равен объем конуса?

Как вы думаете, откуда взялись эти формулы?

Привожу пример со строителями (3*4*5)

Рассказываю о московском папирусе (прил.2).

Довожу об основных теоремах Архимеда.

Говорю о звёздах их хаотичном расположении

Давайте и мы примем результаты наших опытов за хаос и будем двигаться  к порядку путём математического вывода формул. «От хаоса к порядку»

Разбиваю класс на 4 группы, прошу выбрать старших групп, записываю их фамилии. Объясняю, что старший группы оценивает работу своей группы  по 3-х бальной системе, а  я, оцениваю работу старших групп. Показываю на проекторе. Провожу опыты, помогаю ребятам. Старшие групп выходят к доске и пишут результаты вывода формул. После чего делают  вывод о верности  теорем Архимеда.

Основная часть.

При изучении тем «Тела вращения» и «Объём пирамиды» знакомлю учащихся с историей данного вопроса, а  для наглядного подтверждения проведём  ряд опытов.

В глубокой древности изучением тел вращения занимались египтяне и вавилоняне. Так,  если судить по Московскому папирусу, египтяне уже в 19 веке до н.э. вычисляли поверхность  полу-шара.

Среди греческих математиков вычислением  объёмов тел вращения занимался  только Архимед ,который, пользуясь своеобразными методами, получил совершенно правильные формулы всех объёмов этих тел.Самым крупным своим открытием Архимед считал следующую теорему: «Площадь шара равняется учетверённой площади большого круга» и «Объём  цилиндра,  высота которого равна диаметру основания, в полтора раза превышает объём вписанного в него шара».Чертёж к этой задаче он завещал выгравировать на своей гробнице, что и было выполнен. Вывод формулы объёма шара и площади поверхности сферы – одно из величайших открытий Архимеда. В его произведении « О шаре и цилиндре» имеются следующие теоремы:  

1. Площадь  поверхности сферы равна учетверённой площади его большого  круга, т.е.  S=4πR². 

2. Обьём  шара равен учетверённому объёму конуса, основанием  которого служит  большой круг, а высотой – радиус шара, т.е.  V=4/3πR³.

3. Обьём  цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

4. Площадь поверхности цилиндра, включая основание, равна 3/2 площади поверхности вписанной сферы.

Для проведения практических занятий я, с помощью своих учеников, изготовил следующие геометрические тела:

1. Полая пирамида и полая призма с равными площадями оснований и равными высотами.

2. Модель куба, распадающаяся на 6 равновеликих пирамид. ( Каждая пирамида с основанием – гранью куба и вершиной – точкой пересечения диагоналей куба.)

3. Сосуд – конус и сосуд – полу-шар, радиусы основания и высоты которых равны.

4. Модель шара, распадающаяся на два равных полушария.

Опыт № 1.

-выдаю  группе по полу-шару и шнур с двумя гвоздиками.

-Предлагаю им с помощью гвоздиков прикрепить конец шнура в вершину полу-шара , а второй группе в центр большого круга полу-шара.

-Ученики прикрывают шнуром поверхность полу-шара, укладывая его спиралью.

-Таким же образом 2  группа покрывает основание полу-шара – большой круг.

-Измерим длины использованных шнуров. В результате опыта увидим, что длина шнура, затраченного на покрытие основания полу-шара , т.е. большого круга радиуса R приблизительно в два раза меньше длины шнура, покрывающего поверхность полу-шара. Отсюда 1/2S≈πR²,S= 2πR². Площадь поверхности полу-шара равна 2πR²,значит площадь поверхности шара равна 4πR².

Описанный опыт – один из древнейших. Аналогично можно продемонстрировать и опыт ,подтверждающий, что объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

Опыт№2.

Для проведения опыта нужны сосуд – конус и сосуд – полу-шар, радиусы основания и высоты которых равны. R – радиус, H – высота.

Переливаем воду из сосуда – конуса в сосуд –полу-шар и убеждаемся ,что Vк≈1/2Vп, 2Vк=Vп,  Vш=4Vк=4/3πR³ или  Vш=4πR²·1/3R=$сф·R/3.

Объём шара равен площади поверхности шара, умноженной на ⅓ его длины.

Опыт №3.

Демонстрируются 2 сосуда: один имеющий форму призмы, другой форму – пирамиды.

Переливая воду из сосуда –пирамиды в сосуд – призму ,учащиеся  убеждаются , что ёмкость сосуда –пирамиды примерно в три раза меньше ёмкости сосуда – призмы: Vпир=⅓Vпр=⅓$осн·H.

Опыт №4.

Демонстрируется модель куба, распадающаяся на 6 равновеликих пирамид.

а-Ребро куба, Vпир=⅙Vк=⅙ ·a³. Или по другому:⅙a³=⅓a²·½a,где ½·a=Hпир.

Таким образом, Vпир= ⅓a²·H=⅓$осн·H.

После лично проведённых опытов ученики лучшее усваивают материал. Уроки геометрии становятся интереснее и динамичнее.

3. Заключительная часть:

Напоминаю ученикам тему, цель урока.

-привожу высказывание Г.Галилея:

« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность  правильно мыслить и рассуждать».

- отмечаю положительные стороны и недостатки  занятия. Считаю, что мета -предметная тема «от хаоса к порядку» отработана.