План-конспект урока по геометрии "Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости"

Действия учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД

1.

Приветствие учеников:

Здравствуйте, ребята. А теперь посмотрите на своего соседа за партой, улыбнитесь ему и еще раз поздоровайтесь с ним.

Приветствуют учителя.

Улыбаются и приветствуют своего соседа по парте.

Уметь налаживать эмоциональное общение с рядом находящимися учащимися

2.

Название нашего урока «Принцип архитектуры планеты Земля».

Посмотрите на картины, (на экране появляются исторические достопримечательности г. Симферополь, приложение 1) на них изображен исторический и современный Симферополь

Кинотеатр «Симферополь», улица Пушкина, здание цирка, железнодорожный вокзал

Смотрят на презентации. Сравнивают изображения исторического и современного Симферополя.

Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке

, на второй картине, точнее на фото изображен уже современный Симферополь.

?

Задает вопрос:

Несмотря на историческое различие в облике Симферополя

- есть общий принцип построения любого здания на планете Земля. Что это за принцип?

Записывает на доске некоторые гипотезы, имеющие отношение к геометрии.

Какая из гипотез была близка к моей версии выясним позднее. Более того, Вы сами определите ее после того как, мы вспомним некоторые стереометрические понятия.

Выдвигают гипотезы (например: состоят из параллелепипедов, есть параллельные прямые и др.)

 Проведем небольшой устный опрос:

1. Что называется углом между прямыми?

Отвечают на вопросы. Если учащийся отвечает неправильно, то весь класс может помочь ему, либо он должен доказать свою правоту приведением контр примеров:  Угол между прямыми a и b называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от a прямой к прямой b.

Поиск и выделение необходимой информации. Уметь оформлять свои мысли в устной форме: слушать и понимать речь других Умение анализировать графические изображения пространственных фигур. -

2. Чему равны углы между прямыми а и b:

 а) 140; б)142; в) 90.

Умение работать по готовому чертежу, сравнивать чертежи друг с другом (репродуктивное умение).

3. Что называется углом между скрещивающимися прямыми?

 Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Умение воспроизводить определение

4. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

– Чтобы определить величину угла между скрещивающимися прямыми, необходимо обе прямые (или одну из них) перенести в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. После этого следует найти величину угла между полученными пересекающимися прямыми. -

Умение находить угол между скрещивающимися прямыми.

5. Дан тетраэдр DABC. Чему равен угол между DC и AB, если КМ || DC, М принадлежит АВ, КМА = 96?

 96⁰

Умение при решении задачи использовать теоретические знания

6. Что называется кубом? Перечислите его свойства.

 Куб – это параллелепипед грани-квадраты, боковые грани и основания равны между собой, площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. -

Абстрактный анализ известной пространственной фигуры: выделение свойств, понимание развертки и др.

3.

• Возвратимся к картинам, посмотрите на 1-ой появились прямые, скажите в каком соотношении находятся данные прямые? (учащиеся выдвигают гипотезы) Правильно, Розовая и синяя, красная и зеленая, голубая и фиолетовые линии перпендикулярны , потому что угол между ними равен 90 градусам.

Давайте далее посмотрим на других картинах, где перпендикулярные прямые?

• Так почему перпендикулярность основной принцип архитектуры Земли? ( Геометрия в архитектуре является очень важной наукой. В построении таких высоких здании как например Эйфелева башня( башня.jpg)

и Останкинская башня ( )

Высказывают предположения на вопросы про картинки. Находят перпендикулярные линии в картинках, обосновывают свои ответы.

Учащиеся задаются вопросом о том, «какое значение, смысл имеет для меня тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей»», и находят ответ на него..

Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

наиболее важным является перпендикулярность. И поэтому наиболее простой и устойчивой конструкцией являются конструкции с перпендикулярными прямыми.

4.

– Давайте перейдем к изучению темы. Напишем определение перпендикулярных прямых:

Определение: Две прямые в пространстве перпендикулярными, если угол между ними 90⁰

 Можно сказать что ничего нового мы и не узнали, но просто. Вспомним, что в пространстве все не так, как на плоскости перпендикулярными могут оказаться только (пересекающиеся):

Внимательно слушают. В тетрадях записывают определения.

Познавательные. Поиск и выделение необходимой информации. Анализ данных, узнают как применить полученные знания на практике. Умение проводить аналогию между плоскими и пространственными отношениями между прямыми

 А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотрим:

Прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так?

Вспомним определение угла между прямыми.

 Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a и b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b′ b. И тогда угол между a и b (по определению) будет равен углу между a и b′.

Выделение из понятия скрещивающихся прямых частного случая понятия «перпендикулярность непересекающихся прямых» -

Рассмотрим пример. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁:

. Найдем угол между прямыми АА₁ и В₁С. Какими являются прямые АА₁ и В₁С? Как вы думаете, как находиться угол между ними?

 Прямые АА₁ и В₁С являются скрещивающимися прямыми.

В плоскости А₁АDD₁ чертим прямую параллельную прямой В₁С. И находим угол

АА₁D.

Систематизация понятий угол между прямыми в пространстве и перпендикулярность прямых

5.

Попробуем решить задачу, записанную на доске: Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ . Докажите , что

ДСВ₁С₁ , если угол BAD = 90°.

Итак, решить задачу мы не можем. Давайте оставим ее и попробуем найти ту теорию, с помощью которой мы сможем ее решить. Для этого нам понадобиться лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей.

Ученики пытаются решить задачу, но сталкиваются с трудностью. В связи тем, что лемма нужная для решения задачи еще не пройдены.

Умение анализировать учебную задачу выделять известные и неизвестные возможности по ее решению. Умение проявлять волевые усилия в проблемной ситуации-

 Давайте рассмотрим модель куба (чертеж нарисован на интерактивной доске).

1 Как называются прямые АВ и ВС? Повторите еще раз определение перпендикулярных прямых.

2. Найдите угол между прямыми АА₁ и DС; ВВ₁ и АD? Какие это прямые?

3. Давайте рассмотрим прямые АА₁, СС₁ и DC в этом кубе.

- Прямые АА₁, СС₁ – это какие прямые?

-А прямые СС₁ и DC – это какие прямые?

1 Прямые АВ и ВС перпендикулярные.

2 Прямые АА₁ и DС; ВВ₁ и АD скрещивающиеся и перпендикулярные соответственно.

3 Прямые АА₁, СС₁ параллельные, прямые СС₁ и DC

Но, мы еще только что сказали, что прямые АА₁ и DC – перпендикулярные.

Записывает вывод на доске, учащиеся в тетрадях.

Итак, АА₁ || СС₁ СС₁║DC, АА₁ ┴ DC

перпендикулярные

6.

Мы сейчас вышли на формулировку леммы: Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Формулирует лемму и показывает на чертеже, затем формулирует еще раз, выделяя голосом ключевые слова:

Давайте докажем эту лемму. Прочитайте еще раз лемму и выделите что дано? Что нужно доказать? Подумайте, как можно осуществить доказательство и составьте его план?

Готовый рисунок на интерактивной доске.

Итак, вы уже, наверное, поняли, что именно эта лемма будет необходима для решения нашей задачи, она же понадобиться и для решения многих других

После введения леммы, один ученик выходит к доске, для решения задачи. Если возникнут проблемы при решении, остальные ученики могут помощь со своих мест.

Повторяют хором лемму и выделяют на чертеже другие пары прямых, подходящих под формулировку леммы.

К доске выходит учащийся, пишет: что дано, что необходимо доказать. Затем выска-

Уметь оценивать правильность выполнения действия

Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия

задач и для доказательства многих теорем.

 Выберите произвольную точку пространства М, не лежащую на данных прямых и проведите прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с.

 Чему будет равен угол АМС? Почему?

У кого-нибудь возникли идеи по дальнейшему доказательству? Каким прямыми являются МА и в? Почему?

Итак, прямые в и с параллельны каким прямым? Угол между которыми чему равен? А что это означает?

 Итак, давайте еще раз посмотрим на лемму.

Что нам было дано? Что нам надо было доказать?

зываются предположения и план по доказательству.

Дано: а||b, а┴с.

Доказать: b┴с.

Ученики: Угол АМС равен

90⁰, потому что а ┴с

МА и в являются параллельными, так как а||МА по построению и b||а по условию.

Прямые b и с параллельны прямым МА и МС.

Это означает, что bс

способов и условий действия. Анализ и синтез объектов

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, умение четко отвечать на вопросы.

Внесение необходимых дополнений и корректив для решения задач.

Сколько шагов было в доказательстве? Что мы делали на каждом из них?

Давайте теперь вернемся к нашей нерешенной задаче и посмотрим, может мы уже нашли ту теорию, которой сможем воспользоваться при ее решении? (учащиеся должны найти соответствие с леммой и выделить прямые, которые необходимы для доказательства. По желанию один из учащихся на месте проговаривает ход решения задачи).

Учитель: давайте вернемся к модели нашего куба (учитель поворачивается к рисунку на интерактивной

доске).

Найдите угол между прямой АА₁ и прямыми плоскости (АВС): AD, AB, AC, MN, BD.

 Прямая АА₁ является пер-

Итак, прямая АА₁ является какой прямой по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости (АВС)? (учащиеся: перпендикулярной).

Так вот, такие прямая и плоскость называются перпендикулярными.

Дайте четкое определение прямой, перпендикулярной к плоскости!

А существует ли связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости? Давайте рассмотрим две теоремы, которые и «говорят» об этой связи .

Построим алгоритм действий: Что дано? Что требуется доказать в задаче? Какую теорию можно применить для ее решения?

пендикулярной прямой по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости (АВС).

По желанию дают определение. Затем учитель еще раз проговаривает, выделяя ключевые слов.

Читают теоремы в учебнике и разбирают их по шагам, выделяют необходимую теорию для их доказательства, а учитель затем разбирает ход доказательства и записывает на доске, а учащиеся в тетрадь. Учащиеся могут парами

(группами) пытаться дока-

зать, высказывают свои предположения.

 Решаем задачу из учебника №120.

Задача. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК= b.

Задает наводящие вопросы (по плану: анализ текста задачи; поиск решения; анализ результата; ответ), если возникли затруднения.

Один из учащихся по желанию читает вслух задачу, выделяет что дано, что требуется найти, рисует чертеж.

Применение сформированного понятия при решении задач. Умение анализировать условие задачи и строить изображение пространственной фигуры, работать с чертежом.

Рассмотрим треугольники АОК, СОК, ВОК, DОК.

Это какие треугольники?

 Равные по двум катетам.

Что отсюда следует?

АК = КС = KD = ВК.

Рассмотрим треугольник ОКС. Найдите ОС и СК.

ОС у нас половина диаго-

нали квадрата, она равна Ученики используя

теорему Пифагора находят СК.

Итак, давайте вернемся к учебной задаче. Выполнили ли мы все цели, которые ставили? Почему?

 Какие определения мы рассмотрели? Какую лемму доказали? Какая была идея доказательства?

• Мы рассмотрели все цели которые ставились перед нами. Мы рассмотрели определение, лемму и решили задачи.

• Мы рассмотрели определение перпендикулярных прямых, она звучала так: две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними 90∘. Мы доказали лемму о двух параллельных прямых перпендикуляр-

Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, оценивание качества и уровня усвоения.

Какие вопросы остались для вас не совсем ясными?

На что необходимо еще уделить внимание?

Учащиеся предупреждаются о том, что все задачи, которые будут разобраны в классе, дома, которые составят сами учащиеся в процессе изучения заявленных трех модулей, учитель собирает в одну тетрадь, затем из них будет сформирован итоговый зачет по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»+ теоретические вопросы.

ной к третьей прямой. Ученики задают вопросы, которые остались им непонятными, например, кому то не понятны использование леммы в задачах, или вопросы касающиеся решениям задач.

7.

§1 (п. 15,16). Учащиеся самостоятельно составляют карточки с заданиями по пройденной теме + задача из учебника (188).

Учащиеся записывают домашнее задание. Ставят в дневники оценки.

Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности.