Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Цель урока: систематизировать знания учащихся по теме «Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую», в том числе с использованием нестандартных заданий.

Рассмотрим перевод десятичных чисел в системы счисления с другими основаниями. Подойдем к этой проблеме с общей математической позиции.

Сначала получим  правила перевода целого числа .

Обозначим целое число через Х.

Основание системы счисления, в которую будем переводить, обозначим p.

В результате перевода получится (n+1)- разрядное число. Запишем это следующим образом:

Здесь  α 0   обозначает цифру нулевого разряда числа,  α 1   – цифру первого разряда и т. д.

Значения этих цифр лежат в диапазоне от  0  до  р-1.  

Запишем значение числа в системе  p  в развернутом виде и преобразуем к скобочной форме.

Отсюда нетрудно понять, что  α 0   равно остатку от целочисленного деления  Х  на  р , а  Х1  – частное от целочисленного деления  Х  на  р.

α 0 =X mod p,

  X1=X div p. 

Здесь  div  – знак операции целого деления, а  mod  – остатка от деления.

Таким образом, найдена  α 0 -  цифра нулевого разряда числа в p-ичной системе.

Теперь запишем число  Х1  в скобочной форме:

По аналогии с предыдущим следует, что 

α 1 =X1 mod p –  остаток от деления Х1 на р; 

X2=X1 div p. 

Найден  α 1 -  первый разряд искомого числа.

Продолжая далее целочисленные деления на  р  с выделением остатка, последовательно будем получать искомые цифры  р -ичного числа.

Процесс закончится, когда в результате деления нацело (div) получится ноль. Последний остаток будет равен  α n  – старшей цифре числа.

Задача 1 . Перевести число 58 в троичную систему счисления.

Перевод производим путем последовательных делений на 3.

После знака равенства записывается целая часть частного, а в скобках указывается остаток.

58 : 3 = 19 (1)

19 : 3 = 6 (1)

6 : 3 = 2 (0)

2 : 3 = 0 (2)

Окончательный результат такой: 58=2011 3 .

Теперь рассмотрим перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием p. Пусть Y - дробное десятичное число: Y

Число, равное Y в системе с основанием p, запишем в развернутой форме:

Умножим это равенство на p:

Отсюда видно, что а –1  — это целая часть произведения  Y · p , а  Y 1 — дробная часть этого произведения. Далее выпишем  Y 1 и умножим его на  р :

Далее выпишем  Y 1 и умножим его на  р :

Теперь а –2   стало целой частью произведения  Y 1 ·p . Очевидно, что дальше нужно умножать на  р  значение  Y 2. Выделив его целую часть, получим третью цифру дробного числа — а –3 . И так далее.

До каких же пор продолжать этот процесс?

Первая ситуация: после некоторого числа умножений в дробной части произведения получится ноль.

Понятно, что дальше будут все нули. Следовательно, переведенное значение имеет конечное число цифр.

Задача 2.  Перевести десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления.

Будем последовательно умножать это число на 2, выделяя целую часть произведения:

В итоге получили: 0,625 = 0,101 2 .

До каких же пор продолжать этот процесс?

Вторая ситуация — получение периодической дробной части.

В таком случае последовательные умножения надо продолжать до выделения периода.

Задача 3.  Перевести число 0,123 в пятеричную систему счисления.

Далее пойдет повторение двух последних цифр. Результат получился таким:

0,123 = 0,030(14) 5 .

Если требуется перевести смешанное десятичное число, то отдельно переводятся целая часть числа путем последовательных делений и дробная часть путем умножений.

Затем эти два результата записываются через запятую одним смешанным числом.

Задания

• Переведите десятичное число 75 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы
• Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.
• Переведите десятичное число 0,8125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
• Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Вариант 1

• Какое из чисел 110011 2 , 111 4 , 1В 16 является наибольшим?
• Верно ли следующее равенство: 33 6 = 21 10 ?
• Переведите целое число 2041 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.
• Переведите двоичное число 1100010001002 в восьмеричную систему счисления.

Вариант 2

• 110011 2 , 111 4 , 1А 16 является наибольшим?
• Верно ли следующее равенство: 36 6 = 21 10 ?
• Переведите целое число 2052 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.
• Переведите двоичное число 1100011001002 в восьмеричную систему счисления.

• Воспроизведите электронную таблицу для перевода недесятичного числа в десятичную систему счисления.

1

A

B

2

C

3

Основание системы:

4

D

5

E

Разряды

6

Число

3

F

5

G

Перевод

4

3

0

H

2

2

0

I

54

0

1

J

0

0

0

K

3

1

L

,

-1

1

M

1

H

-2

0,33

-3

0

-4

0

0

=

58,333333

В ячейку В6 записываем формулу: =B5*$D$2^B4

В ячейке C6: =C5*D2^C4 и т.д. Результат перевода получается в ячейке N5, где стоит формула: =СУММ(B6:L6)

Используя эту таблицу, выполните перевод в десятичную систему счисления следующих чисел:

110101,1011 2 , 35071,214 8 , 24013,3201 5

Вопросы:

1. Как перевести десятичное число в систему счисления с основанием p?

2. Как переводится дробное десятичное число в систему счисления с основанием p?

Домашнее задание:

П. 1.3.2 -1.3.3 стр. 36-42 читать

Письменно № 3 стр. 39