Неевклидова геометрия

“ Неевклидова геометрия”

Курганская Елена Геннадьевна

учитель математики и информатики

МБОУ «Холоднянская СОШ» Прохоровского района

Белгородской области

Краткая аннотация

• Данная работа представляет интерес как для учителя математики, так и для учащихся, широко интересующихся и самой наукой математикой и историей ее развития. Проект знакомит как с самим Н.И. Лобачевским, так и с основными положениями его геометрии. Данный материал будет полезен для факультативных занятий с учащимися, проявляющими интерес к математике или как ознакомительный для всех учащихся при проведении недели математики в школе.

Лобачевский Николай Иванович

( 1792-1856)

• Николай Иванович Лобачевский – человек, которого называли Коперником…
• Открытие русского ученого
• Фотоальбом

Лобачевский Николай Иванович родился 2 ноября (11 декабря) 1792 в Нижнем Новгороде в небогатой семье мелкого чиновника. После смерти отца осиротевший Николай был определен благодаря стараниям матери в Казанскую гимназию. По окончании гимназии, в 1807 г., Николай Иванович, 16-летним юношей, был зачислен студентом незадолго перед тем открытого Казанского университета. С этого момента вся жизнь Лобачевского была тесно связана с Казанью и ее университетом.

Этот университет в то

время еще не стоял на

должной академической

высоте, но физико-математические науки преподавались в нем хорошо благодаря руководству попечителя С. Я. Румовского и математика-педагога М. Ф. Бартельса (учителя Гаусса), астронома И. А. Литтрова .

Молодой студент Лобачевский работал с огромным энтузиазмом и уже за первые два-три года овладел обширным материалом из области точных наук. Он был одним из способнейших студентов университета и принадлежал к прогрессивной молодежи того времени. А это было время патриотического подъема, вызванного Отечественной войной, и пробуждения русского общества. Во вторую половину царствования Александра I ввиду усиления реакции был установлен строгий надзор за поведением студентов.

Против Н. И. Лобачевского, проявлявшего «признаки безбожия», было возбуждено дело об исключении его из университета. Лишь энергичное вмешательство профессоров, высоко ценивших выдающиеся способности Николая Ивановича, спасло его от грозящего несчастья.

Николай Иванович быстро выдвинулся на научно-педагогическом поприще благодаря не только выдающимся способностям, но и настойчивому труду. Он глубоко изучал старые и новые классические произведения выдающихся математиков.

С 1816 г., уже в качестве профессора, Николай Иванович читал в университете специальные курсы элементарной математики, дифференциального и интегрального исчисления, а позже ему было поручено и преподавание физики, механики и астрономии. На протяжении свыше 40 лет Лобачевский принимал самое активное участие в общественной жизни, организации и строительстве Казанского университета. Дважды до 1825 г. он избирался деканом физико-математического факультета, а с 1827 г. в течение 19 лет состоял ректором Казанского университета.

По инициативе Лобачевского был создан научный журнал, «Ученые записки Казанского университета», существующий и поныне.

Один из историков Казанского университета — Загоскин писал, что в стенах Казанского университета «все дышит памятью Лобачевского, все восстанавливает перед нами симпатичный облик великого ученого и неутомимого труженика-ректора». Николай Иванович отдавал много сил и времени задачам воспитания юношества и внес ценный вклад в дело развития русской педагогической мысли.

Параллельно с просветительской, общественной, педагогической и административной деятельностью развивалось и

научное творчество Лобачевского.

Подобно другим математикам, Николай Иванович вначале тоже пытался доказать пятый постулат геометрии Евклида. Применяя метод доказательства от противного, он отвергает пятый постулат и вместо него присоединяет к остальным аксиомам евклидовой геометрии новую аксиому о параллельности прямых, прямо противоположную евклидовой аксиоме, называемую ныне «аксиомой Лобачевского»: в плоскости через точку вне прямой можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данной прямой.

Если бы пятый постулат был следствием других евклидовых аксиом, то аксиома Лобачевского должна была бы привести к противоречию. Между тем выводя все новые и новые следствия из сделанного им допущения, Лобачевский констатировал, что ни к какому логическому противоречию оно не приводит, а наоборот, полученные выводы и следствия образуют новую логически стройную геометрию. Это убедило его в том, что пятый постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, из них не вытекая и поэтому его доказать нельзя.

Еще в первых числах февраля 1826 г. он передал в университет рукопись «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», 11 февраля он выступил с докладом на заседании Совета университета. Вероятно, никто из присутствовавших не мог уследить за ходом мысли Лобачевского. Созданная комиссия из членов Совета несколько лет не давала заключения.

В 1830 г. в «Казанском вестнике» выходит работа «О началах геометрии», представляющая собой извлечение из доклада на Совете. Чтобы разобраться в ситуации, решили воспользоваться помощью столицы: в 1832 г. статью послали в Петербург. И здесь никто ничего не понял, работа была квалифицирована как бессмысленная.

Новая, построенная Лобачевским геометрия была названа «воображаемой».

Гаусс ее назвал «неевклидовой», мы же в настоящее время называем ее «геометрией Лобачевского».

Вот некоторые ее положения (теоремы), вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского.

• В отличие от геометрии Евклида, в которой сумма углов треугольника равна 180° , и в отличие от сферической геометрии, в которой сумма больше 180° , в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180° и убывает по мере возрастания п лощади треугольника.
• Подобных фигур не существует. Если два треугольника имеют соответственно равные углы, то и стороны их соответствен но равны.

В 1835 Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии:

«Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Геометрия Лобачевского не была признана современниками, она была встречена с полным равнодушием или даже с иронией. Презрительное отношение к новой геометрии не изменилось на протяжении всей жизни ее творца. Но даже оставшись в одиночестве, Николай Иванович не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но твердо верил и в ее применимость к реальному физическому пространству.

Он утверждал, что только опытным путем можно проверить, соответствует ли та или иная геометрическая система законам физики и астрономии. С этой целью он производил астрономические наблюдения и измерения, чтобы установить, чему же равна сумма внутренних углов треугольника. Однако такие измерения не могли и не могут дать определенного результата в силу недостаточной точности инструментов и приближенного характера любых измерений. Николай Иванович упорно искал оправдание своей теории в механике и астрономии.

Хотя развитие науки и техники в то время не позволяло подтвердить высказанные положения, Лобачевский не переставал верить, что торжество его идей рано или поздно наступит, и даже незадолго до смерти, уже слепой, он диктует свою «Пангеометрию».

Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным, казалось, забытым. Но уже в 70-х годах прошлого столетия имя Лобачевского было на устах математиков всего мира, а его работы были переведены и распространены во всех культурных странах.

После того как идеи Лобачевского получили признание, его геометрия стала бурно развиваться, особенно в трудах Римана, Кэли, Клейна, Гильберта. Несмотря на то что геометрия Лобачевского и открытая за нею неевклидова геометрия Римана прочно вошли в современную науку, геометрия Евклида сохраняет свое полное значение в вопросах практики, строительства и техники. Неевклидовы геометрии находят себе применение в некоторых более сложных теоретических и практических вопросах современной математики, физики и техники.

Открытие гениального русского ученого Николая Ивановича Лобачевского дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и способствует поныне более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.

Формулировка пятого постулата:

если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются.

рисунок 1

Например, если угол а - прямой, а угол в чуть меньше прямого, то прямые L1 и L2 непременно пересекаются, причем справа от прямой m .

рисунок 2

Многие теоремы Евклида выражают гораздо более простые факты, чем пятый постулат. К тому же проверить на эксперименте пятый постулат довольно сложно. Достаточно сказать, что если расстояние |AB| считать равным 1 м, а угол в отличается от прямого на одну угловую секунду, то можно подсчитать, что прямые L1 и L2 пересекаются на расстоянии свыше 200 км от прямой m.

Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат)-лишняя, т.е. она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Так, в V в. математик Прокл (первый комментатор трудов Евклида) предпринял такую попытку.

Однако в своем доказательстве Прокл незаметно для себя использовал следующее утверждение:

два перпендикуляра к одной прямой на всем своем протяжении находятся на ограниченном расстоянии друг от друга (т.е. две прямые, перпендикулярные третьей, не могут неограниченно удаляться друг от друга, как на рисунке).

Рисунок 3

Но при всей кажущейся наглядной «очевидности» это утверждение при строгом аксиоматическом изложении геометрии требует обоснования. В действительности использованное Проклом утверждение является эквивалентом пятого постулата; иначе говоря, если его добавить к остальным аксиомам Евклида в качестве еще одной новой аксиомы, то пятый постулат можно доказать (что и сделал Прокл), а если принять пятый постулат, то можно доказать сформулированное Проклом утверждение.

Критический анализ дальнейших попыток доказать пятый постулат выявил большое число аналогичных «очевидных» утверждений, которыми можно заменить пятый постулат в аксиоматике Евклида.

Вот несколько примеров таких эквивалентов пятого постулата.

1) Через точку внутри угла, меньшего, чем развернутый, всегда можно провести прямую, пересекающую его стороны, т.е. прямые линии на плоскости не могут располагаться так, как показано на рисунке.

рисунок 4

2) Существуют два подобных треугольника, не равных между собой.

3) Три точки, расположенные по одну сторону прямой L на равном расстоянии от нее лежат на одной прямой.

• рисунок 5
• рисунок 5

4) Для всякого треугольника существует описанная окружность

Постепенно «доказательства» становятся все изощреннее, в нее все глубже прячутся малозаметные эквиваленты пятого постулата. Допустив, что пятый постулат неверен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.

А может быть, мы вообще никогда не придем на таком пути к противоречию? Не может ли быть так, что, заменив пятый постулат Евклида его отрицанием (при сохранении остальных аксиом Евклида), мы придем к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий?

Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстраивать в течение двух тысячелетий после появления «Начал» Евклида.

Николай Иванович Лобачевский, как и все его предшественники, вначале пытался выводить различные следствия из отрицания пятого постулата, надеясь, что рано или поздно он придет к противоречию.

Однако он доказал много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий. И тогда Лобачевскому пришла в голову догадка о непротиворечивости геометрии, в которой пятый постулат заменен его отрицанием.

Рассказывая о геометрии Лобачевского, нельзя не отметить еще одного ученого, который вместе с Гауссом и Лобачевским делит заслугу открытия неевклидовой геометрии. Им был венгерский математик Я. Бойяи (1802-1860). Его отец, известный математик Ф. Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от неудач и разочарований.

В одном из писем он писал ему:

«Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи и всякий светоч, всякую радость жизни в ней похоронил... она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни...»

Но Янош не внял предостережениям отца. Вскоре молодой ученый независимо от Гаусса и Лобачевского пришел к тем же идеям. В приложении к книге своего отца, вышедшей в 1832 г., Я. Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии.

В геометрии Лобачевского (или геометрии Лобачевского-Бойяи, как ее иногда называют) сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата (или аксиомы параллельности одного из эквивалентов пятого постулата,-включенной в наши дни в школьные учебники).

Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др. Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменяются. Теорема о сумме углов треугольника- первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности. Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. Более того, в геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Разность между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна; она называется дефектом этого треугольника. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника замечательным образом связана с его дефектом: S ABC =k*D ABC , где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов.

Пусть теперь AOB-некоторый острый угол . В геометрии Лобачевского можно выбрать такую точку M на стороне OB, что перпендикуляр MQ к стороне OB не пересекается с другой стороной угла.

рисунок 6

Этот факт как раз

подтверждает, что не

выполняется пятый

постулат: сумма

углов a и b меньше

развернутого угла(180°),

но прямые OA и MQ не

пересекаются.

рисунок 6

Если начать приближать точку M к O, то найдется такая «критическая» точка M 0 , что перпендикуляр M 0 Q 0 к стороне OB все еще не пересекается со стороной OA, но для любой точки M’, лежащей между O и M 0 , соответствующий перпендикуляр M’Q’ пересекается со стороной OA.

Прямые OA и М 0 бо все более приближаются друг к другу, но общих точек не имеют. На рисунке 7 эти прямые изображены отдельно; именно такие неограниченно приближающиеся друг к другу прямые Лобачевский называет в своей геометрии параллельными.

рисунок 7

А два перпендикуляра к одной прямой (которые неограниченно удаляются друг от друга, как на рис. 2) Лобачевский называет расходящимися прямыми. Оказывается, что этим и ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны (рис. 6), либо являются расxодящимися (в этом случае они имеют единственный общий перпендикуляр, рис. 2).

Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами ( 1868 ), Ф. Клейна ( 1871 ), А. Пуанкаре ( 1883 ) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Осознание того, что у евклидовой геометрии имеется полноценная альтернатива, произвело огромное впечатление на научный мир и придало импульс другим новаторским идеям в математике и физике.

фотоальбом

Степан

Яковлевич

Румовский

Мартин

Федорович

Бартельс

Иосиф

Антонович

Литтров

Николай

Павлович

Загоскин

• Бойяи , Янош — Википедия

Януш

Бойяи

Памятник

Н.И. Лобачевскому

в Казани

Титульный лист книги Лобачевского

Юбилейная медаль

1895 года

Литература

• Энциклопедический словарь юного математика. Составитель: Савин А.П.-М.:Педагогика, 1989.
• История математики в школе VII-VIII классы. Глейзер Г.И.-М.:Просвещение, 1982.
• ru.wikipedia.org/wiki
• www.biografii.ru/…/lobachevskiy