Неравенства с одной переменной. Системы неравенств (методическая разработка)

Решением неравенства с одной переменной называется множество значений переменных, которые обращает его в верное числовое равенство.

Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.

Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если:

1) из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком;

2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;

3) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;

4) в какой-либо части неравенства или в обеих его частях выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения неравенства.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.

Решение неравенств методом интервалов.Будем понимать метод интервалов, как метод, применяемых для решения неравенств строго определенного вида:

(х-х₁)^а1(х-х₂)^а2(х-х₃)^а3...(х-_хn)^аnЄV0

где х₁, х₂,х₃, ..., х_n R; а1, а², а³, ...,аⁿ Є Nи V — любой из знаков неравенства > , < , ≥ , ≤.

Если данное неравенство не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду с помощью равносильных преобразований, и лишь затем применять метод интервалов.

Весь материал - в документе.

Неравенства с одной переменной. Системы неравенств

Решением неравенства с одной переменной называется множество значений переменных, которые обращает его в верное числовое равенство.Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.Областью определения неравенства с одной переменной называется множество значений переменной, при которых обе части неравенства имеют смысл.Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если:

1) из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком;2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;3) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;4) в какой-либо части неравенства или в обеих его частях выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения неравенства.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Множеством решений системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему.Решение неравенств методом интервалов.Будем понимать метод интервалов, как метод, применяемых для решения неравенств строго определенного вида:, где ;  — любой из знаков неравенства , .Введем ещё два термина. Пусть  — множитель, входящий в неравенство. Если показатель степени ?_i — нечетное число, то точку х = х_i будем называть простой. Если показатель степени ?_i — четное число, то точку х = х_i будем называть двойной.Алгоритм метода интервалов.

1) отметим на числовой прямой точки, соответствующие числам х₁, х₂, х₃, …, х_n, разбив тем самым всю числовую прямую на промежутки (интервалы); причем, если знак неравенства строгий, то точки отмечаются выколотыми, если знак неравенства нестрогий, то точки отмечаются сплошными;2) на каждом из полученных промежутков выражение будет сохранять свой знак постоянным; расставим эти знаки пользуясь правилом чередования знаков:

1. при переходе через простую точку знак меняется, на противоположный;

2. при переходе через двойную точку знак сохраняется;

3) после того как знаки всех промежутков определены с полученного рисунка, считывается решение неравенства; ответ записывается в виде объединения промежутков.

Пример 1.На координатной прямой отмечено число с. Расположите в порядке возрастания числа с; 1/с; с².

1) 1/с; с; с²;2) с²; с; 1/с;3) 1/с; с²; с;4) с; 1/с; с².

Решение.Согласно рисунку, 0 ²  1. Значит, с² Пример 2.Какое из приведенных ниже неравенств не следует из неравенства х – у

1) x – z – y x – z;3) y x.

Решение.Преобразуем каждое из перечисленных неравенств, перенося неизвестные х и у в левую часть неравенства, а z — в правую.

1): x – z – y x – y x – z  x – y x + y x x – y

Ответ: Пример 3.Для каждого неравенства указать множество его решений.

А) -3х²  0Б) -3х² ≤ В) -3х^2 2 ≥

Множество решений:

1) нет решений 2) (-?; +?) 3) 04) (-?; 0) U (0; +?)

Решение.Изобразим график функции у = -3х².

А) Точка х = 0 — выколотая, т.к. неравенство строгое. График лежит ниже оси абсцисс, поэтому решений нет (ответ 1).Б) Весь график, включая х = 0, лежит ниже оси абсцисс, поэтому неравенство выполняется при любых значениях переменной х (ответ 2).В) ) Точка х = 0 – выколотая. График, кроме точки х = 0, лежит ниже оси абсцисс, поэтому неравенство выполняется значениях переменной х, удовлетворяющих ответу 4).Г) Неравенство выполняется в единственной точке х = 0, при которой – 3х2 = 0 (ответ 3).

Ответ: Пример 4. Решить неравенство: (х – 6)²  (x – 4)².Решение.Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители, используя формулу разности квадратов:(х – 6 + х – 4)(х – 6 – х + 4) 0,(2x – 10)(-2) 0 |: (-4),х – 5