Методические рекомендации к практическому занятию по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» для студентов 1 курса на тему: «Решение рациональных уравнений и неравенств»

Методические рекомендации

к практическому занятию по учебной дисциплине

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

для студентов 1 курса

на тему: «Решение рациональных уравнений и неравенств»

Цели: научить учащихся применять полученные знания, решать рациональные уравнения и неравенства.

Опорный теоретический материал:

• Целые рациональные уравнения.

- первой степени: y=ax+b

- второй степени: ax² + bx + c = 0

- выше второй степени: ах³+вх²+сх+d=0

Для решения уравнений выше второй степени применяют:

а) метод введения новой переменной

б) метод разложения на множители (группировка)

Рассмотрим примеры:

Пример 1.

х=0 или

D=1

Ответ: 0,2,

Пример 2.

=0

х²=у

D=9

х²=1 х²=1/4

х=±1 х=±1/2

Ответ: х=±1 х=±1/2.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований.

Пример 3.

(x² + 2x)² – (x +1)² = 55.

(x² + 2x)² – (x² + 2x + 1) = 55

x² + 2x=t.

t² – t – 56 = 0, t₁ = – 7, t₂ = 8.

Осталось решить x² + 2x = – 7 и x² + 2x = 8.

• Дробно- рациональные уравнения.

Определение. Уравнения вида Р(х)/Q(х)=0, где Р(х) и Q(х) – многочлены, называются дробными.

Пример 4.

х≠0 -3х²+3=0

х≠-1 х=±1

Ответ: 1

НЕРАВЕНСТВА

-целые

-дробно-рациональные

-иррациональные

• Целые неравенства:

- неравенства первой степени (обычные линейные неравенства)

- неравенства алгебраической целой второй степени

Пример 5.

Решается графически (с помощью параболы)

- выше второй степени: решаются а) методом замены

б) разложением на множители

Пример 6.

Ответ:

б)

x=2 x=- x=-5

Ответ: ()

• Дробно- рациональные неравенства решаются методом интервалов по следующему алгоритму:

Разложить на множители и числитель и знаменатель

Нанести на числовую ось и проверить знаки на каждом интервале

Пример:

x=2 x=3 x=-1

Ответ: (-1;2)(2;3)

Тренировочные упражнения:

Решить неравенства:

Решить уравнения:

1. 

2. 

3. 

4. -1)(

5. 

7. (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)=60

8. (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=

10. 

11. 

Пояснения к выполнению работы.

Задания представлены в таблицах по 6 вариантов.

На оценку «3» - удовлетворительно (таблица 1,) нужно решить два уравнения и два неравенства с одной переменной.

На оценку «4» - хорошо (таблица 2), нужно решить по одному уравнению и неравенству.

На оценку «5» - отлично (таблица 3), нужно решить по одному дробно – рациональному уравнению и неравенству.

На оценку «3» - удовлетворительно

Таблица 1

На оценку «4» - хорошо

Таблица 2

На оценку «5» - отлично

Таблица 3

Список литературы

1. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Клабухова. Математика. Подготовка к ГИА-2014.-Ростов-на-Дону:Легион, 2013. -304с. – (ГИА-9)

2. С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Завич. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс.-М.:АСТ: Астрель, 2007. – 255,[1]с.

Ященко И.В.ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1. М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2016. – 463, [1]с