Метод координат зачёт

1 вариант

1. Воспользуйтесь формулой cos²x = 1 - sin²x и сделайте замену sinx = t:

2cos²x + 3sinx = 0.

1. Воспользуйтесь формулой sin2x = 2sinxcosx и разложите левую часть уравнения на множители:

sin2x + sin x =0.

2 вариант

1. Воспользуйтесь формулой sin²x = ;

2 sin²x + cos2x = sin2x.

2. При решении уравнения воспользуйтесь формулой sin x - sin y = 2sin cos :

sin7x + cos4x = sin x.

3 вариант

Решите уравнения:

cos2xcosx = cos3x;

cos x + sin x = 2;

cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2.

Вариант 1

1. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов. Пусть М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если А(1/2; 0; -1); B(-3/4; 1/6; -2).

2. Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А(4; -1; 2); B(1; 1; 0); C(0; 1: 0); D(3; -1; 0).

3. Дан куб АBCDA₁B₁C₁D₁, М - середина ребра В₁С₁. Вычислите угол между векторами АМ и ВD₁.

Вариант 2

1.Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Найдите длину вектора CD, если C(4; 3; -1); D(-4; 2; -1).

2.Даны точки A(0: 4; 0); B(2; 0; 0); C(4; 0; 4); D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. К - центр грани BB₁C₁C. Найдите угол между прямыми АК и BC₁.

Вариант 3

1. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения. Найдите скалярное произведение векторов (a + 2b)(c - d), если a 1; 2; -1 ;

b -3; 1;4}; c{3;4;-2}; d{2;-1;3}.

2. Даны координаты вершин тетраэдра МАВС: M(2; 5; 7); A(1; -3; 2); B(2; 3; 7); C(3; 6; 0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника АВС.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани АВСD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A₁D₁, причем A₁M:MD₁ = 2:3. Найдите угол между прямой MN и плоскостью грани АВСD.

Вариант 1

1. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов. Пусть М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если А(1/2; 0; -1); B(-3/4; 1/6; -2).

2. Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А(4; -1; 2); B(1; 1; 0); C(0; 1: 0); D(3; -1; 0).

3. Дан куб АBCDA₁B₁C₁D₁, М - середина ребра В₁С₁. Вычислите угол между векторами АМ и ВD₁.

Вариант 4

1. Докажите, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями. Найдите координаты точек, в которые переходит точка В(0,01; 0,02; -1) при: а) осевой симметрии относительно оси Ох; б) параллельном переносе на вектор

p 0,09; 0,08; 1 .

1. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: A(-6; -4; 0); B(6; -6; 2); C(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD.

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁

AB = BC = 0,5 AA₁.Точка М лежит на ребре D₁C₁, причем D₁M:MC₁ = 1:4. Найдите угол между прямыми AM и B₁D.

Вариант 5.

1. Докажите, что центральная и осевая симметрии являются движением.

Найдите координаты точек М₁ и М₂, в которые перейдет точка

М(-1;3;-5) при осевой симметрии относительно оси абсцисс и оси аппликат.

2. Вычислите угол между прямыми AB и CD, если А( ;1;0), В(0;0;2 ), С(0;2;0), D( ;1;2 ).

3. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. М – середина ребра A₁D₁. Найдите угол между прямыми А₁С и С₁М.

Вариант 1

1. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов. Пусть М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если А(1/2; 0; -1); B(-3/4; 1/6; -2).

2. Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А(4; -1; 2); B(1; 1; 0); C(0; 1: 0); D(3; -1; 0).

3. Дан куб АBCDA₁B₁C₁D₁, М - середина ребра В₁С₁. Вычислите угол между векторами АМ и ВD₁.

Вариант 2

1.Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Найдите длину вектора CD, если C(4; 3; -1); D(-4; 2; -1).

2.Даны точки A(0: 4; 0); B(2; 0; 0); C(4; 0; 4); D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. К - центр грани BB₁C₁C. Найдите угол между прямыми АК и BC₁.

10 класс

1 уровень

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Указание. Найдите длину апофемы пирамиды, используя теорему Пифагора. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды по формуле S_{бок =} 0,5 Pd, где P - периметр основания, d - апофема пирамиды.

1. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см, и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Указание. Высота пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Радиус этой окружности можно вычислить по формуле r = , где S - площадь основания, p - полупериметр многоугольника, находящегося в основании.

2 уровень

1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а высота 2a. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

3 уровень

1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60. Расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а расстояние от центра основания до бокового ребра 2 см. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

1 уровень

1. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В(-3; 2).

3. Сколько общих точек имеют линии (x-2)² + (y+1)² =1 и y=-1?

2 уровень

1. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке. Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: M(0; 1) и N(-4; -5).

3. Радиус окружности равен 6. Центр окружности принадлежит оси Ox и имеет положительную абсциссу. Окружность проходит через точку с координатами (5; 0). Напишите уравнение окружности.

3 уровень

Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку

M₀ (x₀; y₀) и параллельных осям координат.

Найдите периметр треугольника MNP, если M(4; 0), N(12; -2),

P(5; -9).

3. Треугольник задан координатами своих вершин: А(2; -6), B(4; 2), C(0; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, которая параллельна стороне AC.

1 уровень. Вариант 1

1. Сформулируйте и докажите теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

2. ABCD - квадрат, О - точка пересечения его диагоналей, прямая BF перпендикулярна плоскости квадрата. Докажите, что треугольник AFO прямоугольный.

3.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADCA₁, если AC=13 см, DC=5 cм, АА₁= 12 3 см.

2 уровень. Вариант 2

1.Сформулируйте и докажите теорему о трех перпендикулярах.

2. Через вершину К треугольника МКР проведена прямая KN перпендикулярно плоскости треугольника. Известно, что KN=15 см, MK=KP= 10 cм, МР= 12 см. Найдите расстояние от точки N до прямой МР.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH с основанием ABCD АВ=1, AD=3, АЕ=5. Найдите угол между диагональю BH и плоскостью грани BCGF.

3 уровень. Вариант 3.

1. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Диагональ куба равна 3 м. Найдите диагональ его грани.

3. Треугольник MNP прямоугольный ( ), , NC - перпендикуляр к плоскости треугольника, NP=6 см. Найдите двугранный угол между плоскостями MCP и MNP, если NC=3 см.

3 уровень. Вариант 4.

1.Сформулируйте основные свойства прямоугольного параллелепипеда. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол B₁ADB, если AC=6 м, AB₁=4 м, ABCD квадрат.

3 Треугольник DEF равносторонний со стороной 5 см. ЕС - перпендикуляр к плоскости DEF, ЕС= 5 см. Найдите двугранный угол между плоскостями DEF и CDF.

1. Что называется синусом и косинусом числа t? (§ 4).

2. Запишите уравнение числовой окружности. (§ 4)

3. Что называется тангенсом и котангенсом числа t? (§ 5)

4. Напишите формулы, связывающие синус и косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. (§ 6)

5. Напишите формулы, связывающие тангенс и косинус, котангенс и синус числового аргумента. (§ 6)

6. Что называется углом в 1 радиан? Какими формулами связаны градусная и радианная меры одного и того же угла? (§ 7 )

7. Напишите формулы приведения для синуса и косинуса числового и углового аргумента. (§ 8)

8. Напишите формулы для тангенса и котангенса числового и углового аргумента. ( § 8)

Практическая часть.

1. Вычислите: а) sin , б) cos( ), в) tg ( ), г)ctg ,

д) 4sin²120^◦ - 2 cos 600^◦ + ^◦.

1. Решите уравнение: а) sin t = , б) cos t = - , в) sin t = 0, г) sin t= 1,

д) sin t = -1, е) cos t = 0, ж) cos t = 1, з) cos t = - 1 .

1. Упростите выражение: а) tg t cos (-t) + sin (П + t),

б) ctg( -t) sin t + cos (П + t).

1. Докажите тождество: а) ²t, б) tg t cos²t = (tgt + ctgt)^-1.

2. Вычислите cos t, tgt t, ctg t, если известно, что sin t= , .

Дополнительные задачи:

1. Существует ли такое число t, что выполняется равенство sin ?

2. Решите неравенство: а) sin t , б) cos t .

3. Решите уравнения: а) 2cos(2 + t) + sin( + t) = 3,