Метод Мажорант (методический материал)

Метод мажорант (метод оценки).

Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Применение метода оценок будет успешным, если мы умеем находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной.

Определение.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых хорошо знаем.

Пример 1: f(x) = sin x.

-1 ≤ sin x ≤ 1.

 М = –1, М =1

Пример 2: f(x) = cos x

-1 ≤ cos x ≤ 1.

 М = –1, М.= 1

Пример 3: f(x) = ах² + bx + с

(m, n) – координаты вершины параболы. n = f(m). Мажоранта квадратичной функции - ордината вершины. М = n.

М = (4ас–b²) / 4а.

Пример 4: f(x) = |x|

По определению |x| ≥ 0   М= 0.

Весь материал - в документе.

1. МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ)

Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром. Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если мы умеем находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной.

.

Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых хорошо знаем.

Пример 1: f(x)= sin x.

-1 ≤ sin x ≤ 1.

М = –1, М =1

Пример 2: f(x)= cos x

-1 ≤ cos x ≤ 1.

М = –1, М.= 1

Пример 3: f(x)= ах² + bx + с

(m, n) – координаты вершины параболы. n = f(m). Мажоранта квадратичной

функции - ордината вершины. М = n.

М = (4ас–b²) / 4а.

Пример 4: f(x)= |x|

По определению |x| ≥ 0 М= 0

Пример 5. у = М.=0

Пример 6: Найдем мажоранту функции

Ее область определения является

И для всех поэтому g(x) ≤ 3.

Значит

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М, что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение равносильно системе

Метод мажорант:

- Оценить левую часть

- Оценить правую часть

- Составить систему уравнений

- Сделать вывод

- Выполнить проверку

4. Решить уравнение

Решение

g(x)= х² – 6х + 11

g(x) = (x – 3)² + 2; D(g) = R, g(x) ≥ 2.

Найдем мажоранту функции f(x) с помощью производной:

D(f') = (2; 4).

Найдем критические точки:

3 — внутренняя точка D(f) и f'(3) = 0, следовательно, 3 — критическая точка.

Непрерывная на данном отрезке функция имеет единственный экстремум, он максимум, значит, это наибольшее значение функции.

Решение этой системы х=3

Проверка:

Ответ: x = 3

2.  Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функции

f(x) = (x – 8)² + 3, D(f) = R, f(x) ≥ 3. , D(g) = R.

Так как для всех поэтому g(x)≤3.
Данное уравнение равносильно системе

Число 8 — корень первого уравнения системы. Проверим, является ли оно корнем второго уравнения:

Значит, число 8 — решение системы.

Ответ: 8.

Пример 2.8. Найдите все значения параметра а при которых уравнение

имеет решение.

Решение.

Оценим обе части уравнения.

Н
айдем множество значений левой части исходного уравнения: так как , то , тогда, следовательно, наименьшее значение равно 5.

В правой части данного уравнения – квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

Выделив, полный квадрат получаем: . Следовательно, наибольшее значение правой части равно 5 и достигается в вершине при , то есть при .

Итак, исходное уравнение имеет решение при .

Ответ: 5.