Материал по математике по теме "Числовые на­бо­ры на кар­точ­ках и досках"

1. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.)вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

2. На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­ходя­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-ни­будь из осталь­ных.

а) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

3. За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?

б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?

в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

4. На доске на­пи­са­но число 7. Раз в ми­ну­ту Вася до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее ка­ко­го-то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске (таким об­ра­зом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся вто­рое число, через две ― тре­тье и т. д. ).

а) Может ли в какой-то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2012?

б) Может ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 63?

в) Через какое наи­мень­шее время на доске может по­явить­ся число 784?

Полную информацию смотрите в файле. 

Числовые на­бо­ры на кар­точ­ках и досках

1. За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

2. На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­ходя­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-ни­будь из осталь­ных.

а) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

3.За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?

б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?

в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

4. На доске на­пи­са­но число 7. Раз в ми­ну­ту Вася до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее ка­ко­го-то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске (таким об­ра­зом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся вто­рое число, через две ― тре­тье и т.д.).

а) Может ли в какой-то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2012?

б) Может ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 63?

в) Через какое наи­мень­шее время на доске может по­явить­ся число 784?

5. Каж­дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по од­но­му за­пи­сы­ваю на 8 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

6. Име­ет­ся 8 кар­то­чек. На них за­пи­сы­ва­ют по од­но­му каж­дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

7. На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?