Лекция по геометрии «Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов». I-II курс

Ефремова С.С.

Лекция по геометрии «Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов». I-II курс

Цель лекции: знакомство с координатами в пространстве, применение метода координат при решении задач, подробное и углубленное изучение векторного метода с целью более полного ознакомления учащихся с данными темами и их ролью в математике

1.Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия.

II. Актуализация знаний учащихся.

Повторить из планиметрии:

А) координатная плоскость, название осей, координаты точки;

Б)частные случаи расположения точек (на осях координат);

В) координаты середины отрезка;

Г) длина отрезка;

Вектор и его координаты на плоскости.

III. Работа по теме урока.

1.1. Три взаимно перпендикулярных оси ОХ, ОУ, ОZ образуют прямоугольную систему координат в пространстве: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

1.2. Координатные плоскости: ХОУ, ХОZ? YOZ. Единичный отрезок – масштаб для всех трёх осей.

1.3. Различают левые и правые тройки расположения осей (большой, указательный и средний пальцы левой и правой рук)

1.4. Любая точка М в пространстве имеет три координаты: М(х;у;z)

Z Координатные квадранты, изменение знаков

Координат точек в зависимости от квадрантов

М (х;у;z)

О. у

х

1.5. Расположение точки в зависимости от координат: М (1;2;3)

1.5.1 на осях координат

Ось ОХ – М (х;0;0)

Ось ОУ – М (0;у;0)

Ось OZ – М (0;0;z)

1.5.2. на координатных плоскостях:

Плоскость ХОУ – М (х;у;0)

Плоскость XOZ – M (x;0;z)

Плоскость YOZ – M (0;y;z)

1.5.3. Зеркальная симметрия относительно плоскостей и изменение координат:

(ХОУ) : М (х;у;z) (x;y;-z)

(XOZ): M (x;y;z) (x;-y;z)

(YOZ): M (x;y;z) (-x;y;z)

1.5.4. Центральная симметрия относительно начала отсчёта:

М(x;y;z) (-x;-y;-z)

1.5.5. Осевая симметрия:

Ось ОХ: M(x;y;z) (x;-y;-z)

Ось ОУ: М(x;y;z) (-x;y;-z)

Ось OZ: M (x;y;z) (-x;-y;z)

2. Векторы на плоскости.

2.1. Определение вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы.

Коллинеарные векторы

2.1.1. Равные векторы:

2.1.2. Единичный вектор, нулевой вектор, свойство транзитивности для векторов 6.

Два вектора, сонаправленные третьему, сонаправлены между собой;

Если первый вектор противоположно направлен второму, а второй противоположен третьему, то первый и третий сонаправлены

2.1.3. Сложение векторов, правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, правило параллелепипеда

.

2.1.4. Разность векторов

2.1.5. Умножение вектора на число

2.1.6. Свойства сложения и умножения

А) коммутативность:

Б) дистрибутивность:

2.2. Скалярное произведение вектором.

2.2.1. - формула скалярного произведения

2.2.2. Свойства скалярного произведения:

Коммутативность:

Ассоциативность: к(а*в)=ка*кв=кв*кА

Дистрибутивность: а(в+с)= ав+ас

.3 Операции с векторами, заданными координатами

3.1. Радиус – вектор

единичные орты по координатным осям;

3.2. Операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Угол между векторами

Координаты вектора:

Пример. Найти координаты вектора АВ, угол между векторами ОА и ОВ, длину вектора АВ, если А(4;4;7), В (3;0;4)

3.3 Угол между осями координат и вектором

Пример. Найти углы, образованные вектором ОА (2;-2;-1) с осями координат. (48, 131, 109 градусов)

3.4. Координаты середины отрезка.

3.4.1.

3.4.2. Деление отрезка в данном отношении.

Пример. Найти координаты точки А, делящей отрезок СД в отношении 2:3, если С(2;4;-1), Д(-3;-1;6). Ответ: А(0;2;9/5).

3.4.3. Скалярное произведение единичных ортов

3.5. Векторное произведение векторов.

3.5.1. Определение. Векторным произведением векторов а (множимое) и в (множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:

1) его модуль численно равен площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах;

2)его направление перпендикулярно плоскости параллелограмма;

3)направление вектора с выбирается так, чтобы он с векторами а и в составлял правую тройку.

Обозначение: .

3.5.2. Векторное произведение основных единичных ортов.

*∙i=0, j*.i=-k, k*.i=j, i*j=k, j*j=0, k*j=-I, i*k=-j, j*k=I, k*k=0

3.5.3 Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей6

Например. Найти векторное произведение векторов

3.5.4. Нахождение площади треугольника, заданного координатами вершин.

А(3;4;-1), В (2;0;4), С (-3;5;4)

3.5.5. Компланарные векторы – если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

3.5.6. Смешанное произведение.

3.6.1. Определение. Смешанным произведением (или векторно – скалярным) трёх векторов (в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора ., т.е. а∙(в×с). Обозначается: авс.

3.6.2. Признак компланарности : если авс=0, то векторы компланарны. Если система а,в,с – правая, то авс0, если левая – то авс0.

3.6.3. Геометрический смысл: объём параллелепипеда, построенного на векторах – 𝕍=±а(в×с).

Например. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах 27.

4. Определитель третьего порядка (повторить)

Например. Вычислить определитель:

4.1. Найти объём треугольной пирамиды АВСД, заданной координатами вершин: А (2;-1;1),

В (5;5;4), С (3;2;-1), Д (4;1;3). Решение:

5. Уравнения основных геометрических фигур и их взаимное расположение.

,М(x;y;z)

Уравнение плоскости, проходящей через точку М

Или Ax+By+Cz+D=0.

5.2. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат.

5.2.1. Ax+By+Cz=0 - плоскость, проходит через начало координат.

5.2.2. Аx+By+D=0 - параллельна оси OZ? Ax+CZ +D=0 – параллельна оси ОУ, By+Cz+D=0 – параллельна оси ОХ.

5.2.3. Параллельность плоскостям: Ах+Д=0 – параллельна плоскости YOZ, Ву+Д=0 – параллельна плоскости XOZ, Cz+D=0 – параллельна плоскости ХОУ. Уравнения х=0, у=0, z=0 – представляют соответственно плоскости YOZ, XOZ, XOY.

5.2.4. Взаимное расположение плоскостей.

А)плоскости

В) перпендикулярность плоскостей : если скалярное произведение нормалей равно 0, или

Например: 3x-2y-2z+7=0 и 2x+2y+z+4=0, 6-4-2=0, ⟹

В)Угол между плоскостями.

=0 и

Например: угол между плоскостями x-y+z+2=0 и x+y+z-3=0 равен 60⁰или120⁰

, так как cosφ=± .

5.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

М₀ (x₀;y₀;z₀), M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂)

M₁ 0

M₀ M(x;y;z) Например: составить уравнение плоскости, проходящей

M₂ через точки М₀(1;2;3), М₁(2;1;2), М₂(3;3;1). Ответ: x+z-4=0.

5.4. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости.

М₀(x₀;y₀;z₀), M₁(x₁;y₁;z₁), Ax+By+Cz+D=0

, например, cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки М₀(1;2;3) и М₁(2;1;1) перпендикулярно плоскости 3x+4y+z-6=0. Ответ: x-y+z-2=0.

5.5. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно к двум плоскостям:

Например. М(1;3;2) и плоскости x+2y+z-4=0, 2x+y+3z+5=0

5.6. Расстояние от точки до плоскости:

Например расстояние от точки М(3;9;1) до плоскости x-2y+2z-3=0 равно :

5.7. Уравнение прямой в пространстве: .

Например: найти направляющий вектор прямой .

5.8. Угол между прямой и осями координат:

Например: найти углы, которые образует прямая

5.9.1. Угол между двумя прямыми – угол между их направляющими векторами.

5.9.2. Угол между прямой и плоскостью – угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой.

6. Уравнение сферы: (x-x₀)²+(y-y₀)²+ (z-z₀)²=R².

7. Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой:

Литература.

1. А.В.Погорелов. Геометрия. 10 – 11 классы.

2. Б.Г.Зив. Дидактический материал по геометрии.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.

4. Т.Симакова. Основы аналитической геометрии.

5. М.И. Башмаков. Учебник «Математика»