Конспект урока по математике для СПО

Методическая разработка по математике

Тема: Неопределенный интеграл

Первообразная функции

Пусть функция F(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a; b). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если F^/(x)=f(x) для всех .

Если F(x) – первообразная для функции f(x), то функция F(x)+С, где С– некоторая постоянная, также первообразная для функции f(x).кроме того, если F(x) и G(x) – две первообразные для функции f(x), то они отличаются на некоторую постоянную, то есть существует такое число , что F(x)–G(x)=С.

Таким образом, зная только одну первообразную F(x) для функции f(x), без труда можно найти и множество всех первообразных для функции, которое совпадает с множеством функций вида F(x)+С, где С – произвольная постоянная.

Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Обозначения: (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»).

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для функции f(x), то

Знак – называется интегралом, функция f(x) – подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением.

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (то есть операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. .

3. , то есть постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. , то есть неопределенный интеграл суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.

5. Если то.

Таблица простейших интегралов

Интегралы, получающиеся из табличных линейным сдвигом аргумента (то есть интегралы вида ) будем называть почти табличными.

Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции φ^/ и f(x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство

.

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

1. Если под знаком интеграла стоит сложная функция f(φ(x)), то, как правило, используется подстановка t=φ(x) (к примеру, если в подынтегральном выражении встречается функция , то стоит попробовать подстановку , а если – то ).

2. Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции φ(x), то есть выражение , то имеет смысл попробовать подстановку t=φ(x). Поэтому целесообразно запомнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:

Решение упражнений

Упражнение №1. Используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла, найти интеграл .

Решение:

Упражнение №2. Используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла, найти интеграл .

Решение:

Упражнение №3. Используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла, найти интеграл .

Решение:

Упражнение №4. Найти интеграл, используя подходящую подстановку .

Решение: