Конспект урока по математике на тему "Формулы сокращенного умножения. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений"

Цели урока:

1) Дидактические: силами учащихся вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;

научить использовать данные формулы;

учить сравнивать, делать выводы.

2) Развивающая: продолжить развитие логического мышления и мировоззрения учащихся.

3) Воспитательная: продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке вам предстоит сыграть роль исследователей, «открыть» две формулы и научиться их применять.

2. Актуализация знаний.

А прежде чем перевоплотиться в сотрудников исследовательского института потренируем свой мозг устными упражнениями:

1) Прочитайте выражения:

а) х²+(3у) ²;

б) (х+3у) ²;

в) х² – (3у) ²;

г) (х – 3у) ²;

д) 2(х-3у).

е) (х-3у) (х+3у).

- Какие из данных выражений тождественно равны?

- Как называется применимая здесь формула? Сформулируйте её.

2) Возведите в квадрат: 6х;0,04х²у³;

- Найдите произведение 6х и 0,4х²у³; найдите удвоенное произведение этих выражений.

- Найдите произведение 6х и 1/2x³y ; найдите удвоенное произведение этих выражений.

3) Решите уравнение: а) х² – 49 = 0; б) 0,64m – m³ = 0; в) 81х² + 4 = 0.

4) Вычислите: а) (30 – 3)(30 + 3); б) 208 ∙ 192;

5) Сравните: а) 123186 ∙ 123188 и 123187²;

б) 79² + 85² и (79 + 85) ²;

в) 50² + 39² и (50 – 39) ².

- В чём возникло затруднение под буквой б)?

- Прочитайте выражение слева. Существует ли формула для суммы квадратов?

- Прочитайте выражения справа? Знаем ли мы эти формулы? А хотим узнать?

- Так какие же формулы мы сегодня должны «открыть»?

- Итак, сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока.

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока. 

3. Изучение нового.

Теперь мы готовы приступить к исследованию и выполнить основную цель нашего урока: вывести формулы для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.

Вспомним умножение многочленов (3 человека работают индивидуально у доски, остальные в тетрадях по вариантам (3 варианта)).

Весь материал - в документе.

Тема урока: Формулы сокращённого умножения. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Цели урока:

1) Дидактические: силами учащихся вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;
научить использовать данные формулы;
учить сравнивать, делать выводы.
 2) Развивающая: продолжить развитие логического мышления и мировоззрения учащихся.
3) Воспитательная: продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к математике.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке вам предстоит сыграть роль исследователей, «открыть» две формулы и научиться их применять.

 2. Актуализация знаний.

А прежде чем перевоплотиться в сотрудников исследовательского института потренируем свой мозг устными упражнениями:

1) Прочитайте выражения:

а) х²+(3у)²; б) (х+3у)²; в) х² – (3у)²; г) (х – 3у)²; д) 2(х-3у); е)(х-3у)(х+3у).

- Какие из данных выражений тождественно равны?
- Как называется применимая здесь формула? Сформулируйте её.

2) Возведите в квадрат: 6х; 0,04х²у³;  х³у.

- Найдите произведение 6х и 0,4х²у³; найдите удвоенное произведение этих выражений.

- Найдите произведение 6х и х³у; найдите удвоенное произведение этих выражений.

3) Решите уравнение: а) х² – 49 = 0; б) 0,64m – m³ = 0; в) 81х² + 4 = 0.

4) Вычислите: а) (30 – 3)(30 + 3); б) 208 ∙ 192;

б) 138² – 137²; г) .

5) Сравните: а) 123186 ∙ 123188 и 123187²;

б) 79² + 85² и (79 + 85)²;

в) 50² + 39² и (50 – 39)².

- В чём возникло затруднение под буквой б)?
- Прочитайте выражение слева. Существует ли формула для суммы квадратов?
- Прочитайте выражения справа? Знаем ли мы эти формулы? А хотим узнать?
- Так какие же формулы мы сегодня должны «открыть»? 
- Итак, сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока.

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока. 

3. Изучение нового.

Теперь мы готовы приступить к исследованию и выполнить основную цель нашего урока: вывести формулы для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. 

Вспомним умножение многочленов (3 человека работают индивидуально у доски, остальные в тетрадях по вариантам (3 варианта)).

 I вариант II вариант III вариант 

(х+у)(х+у) = х²+2ху+у² (m+n)(m+n) = m²+2mn+n²  (c – d)(с – d) = с²-2сd+d² 
(7+с)(7+с) = 49+14с+с²  (n+6)(n+6) = n²+12n+36  (9 – а)(9 – а) = 81-18а+а²

Обратите внимание на задания I и II варианта.

- Что общего в задании?
- Как произведение записать короче?
- Что общего в полученных ответах?
- Как записать обобщённую формулу? ((а + b)² = а² + 2аb + b²)
- Сформулируйте полученное правило возведения суммы двух выражений в квадрат.
Обратимся к заданию III варианта.
- Как короче записать левую часть?
- В чём различия результатов, если возводим в квадрат не сумму, а разность двух выражений?
- Запишите обобщённую формулу. ((а - b)² = а² - 2аb + b²)
- Сформулируйте полученное правило возведения разности двух выражений в квадрат.

 4. Немного истории.

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «а∙b», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b». Например, тождество (а + b)² = а² + 2аb + b² во второй книге «Начал» Евклида (3 в до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия (имеется в виду отрезок), как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольников, заключённым между отрезками».

Доказательство опиралось на геометрическое соображение. 

Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа – квадратом, а третью степень – кубом числа.

А теперь давайте и мы с помощью рисунка объясним геометрический смысл формулы (а + b)² = а² + 2аb + b².



5. Закрепление изученного материала.

№ 1 (устно) Выбрать правильный ответ из предложенных.

(с + 11)²  (7у + 6)²  (2х – 3у)²

А с² + 11с + 121 А 49у² + 42у + 36 А 4х² – 12ху + 9у²

В с² – 22с + 121 В 49у² + 84у + 36 В 4х² – 12ху – 9у²

С с² + 22с + 121 С 49у² + 36 С 4х² – 6ху + 9у²

Ответы: С, В, А.

№ 2 (устно) Из актуализации знаний в первом задании найдите квадрат суммы или квадрат разности и представьте в виде многочлена. ((х+3у)² = х² + 6ху + 9у²; (х – 3у)² = х² – 6ху + 9у²)

№ 3 (устно) Вернуться к возникшей проблеме в пятом задании и сравнить выражения. ( б) 79² + 85^2 2; в) 50² + 39²  (50 – 39)².)


6. Итог урока.

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?
- Чему равен квадрат суммы двух выражений?
- Чему равен квадрат разности двух выражений?
- Чем отличаются формулы?
- Чью работу вы можете сегодня отметить?