Конспект урока по математике на тему: "Формула для вычисления значений суммы n первых членов арифметической прогрессии"

Цель урока:

контроль и оценка знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме “Арифметическая прогрессия”.

Образовательные:

- обобщение и систематизация теоретического материала по теме;

- отработка умений и навыков применения формул n-го члена прогрессии, суммы n первых членов, свойств членов прогрессии;

- развитие навыков работы с дополнительной литературой;

- выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по применению формул арифметической прогрессии;

Развивающие:

развивать:

- способности к самостоятельному планированию и организации работы

- умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при роботе с арифметической прогрессией.

Воспитательные:

воспитывать:

- познавательный интерес к математике;

- самостоятельность, способность к коллективной работе.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. (Учащиеся записывают в тетради число.)

II. Проверка домашнего задания.

III. Устная работа.

1. Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями? Чему равна разность арифметической прогрессии?

а) 1; 2; 3; 4; 5; 6;  ,

б) 5; 5; 5; 5; 5;  ,

в) 1; 4; 7; 10; 14; 17;…

г) 1; 2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵;:

2. Из арифметических прогрессий выберите ту, для которой выполняется условие  а₁₂<12

1) а_n=12 

2) a_n =3n-39

3) a_n =3n+39

4) a_n=2n+2

3. Из арифметических прогрессий выберите ту, для которой выполняется условие 20<а₁₀<30

1) а_n=3n

2) a_n =2n+20

3) a_n =3n-5

4) a_n=2n-10

IV. Закрепление и обобщение темы.

Повторить формулы по темам «Арифметическая прогрессия» и «Формула суммы n первых членов прогрессии»

Решение задач.

Сначала пробуйте решить задачу самостоятельно, затем кто-нибудь покажет решение на доске.

1. Найти сумму 19 первых  членов арифметической прогрессии

a₁, a₂, a₃, ..., если известно, что a₄ + a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 224.

Согласно формуле общего члена арифметической прогресии a_n = a₁ + d(n - 1). Тогда a₁ + d(4 - 1) + a₁ + d(8 - 1) + a₁ + d(12 - 1) + a₁ + d(16 - 1) = 224

4a₁ + 36d = 224

a₁ + 9d = 56

a₁ = 56 - 9d

По формуле суммы арифметической прогрессии S₁₉ = (a₁ + a₁₉) / 2 * 19 = (2a₁ + 18d) / 2 * 19 = (a₁ + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

Ответ: 1064

2. Самостоятельная работа на 10 минут.

Задания на карточках. Задания 1,2,3- на оценку «3»

4,5,6- на оценку «4» и «5»   

Тест по теме «Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. В арифметической прогрессии (а_n): 15; 11; 7;… разность d=?

2. Дано: а₁= - 4; d=3.

Найдите а₂₀

3. Дано:  а₁= - 3; d=7.

Найдите S₇.

4. Дано: а₇=21; а₉=29.

Найдите d; а₁.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превышающих 80.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного  -198, если а₁=5; d= - 7?

Весь материал - в документе.

Урок39 Дата: ____________

Формула для вычисления значений суммы n первых членов арифметической прогрессии

Цель урока: контроль и оценка знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме “Арифметическая прогрессия”.

Образовательные:

- обобщение и систематизация теоретического материала по теме;

- отработка умений и навыков применения формул n-го члена
прогрессии, суммы n первых членов, свойств членов
прогрессии;

- развитие навыков работы с дополнительной литературой;

- выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по применению формул арифметической прогрессии;

Развивающие:

развивать:

- способности к самостоятельному планированию и организации работы

- умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при роботе с арифметической прогрессией.

Воспитательные:

воспитывать:

- познавательный интерес к математике;

- самостоятельность, способность к коллективной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. (Учащиеся записывают в тетради число.)

II. Проверка домашнего задания.

III. Устная работа.

1.Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями? Чему равна разность арифметической прогрессии?

а) 1; 2; 3;4; 5; 6;  ,

б) 5; 5; 5; 5; 5;  ,

в) 1;4;7;10;14;17;…

г) 1; 2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵;:

2.Из арифметических прогрессий выберите ту, для которой выполняется условие

 а₁₂1) а_n=12                 2) a_n =3n-39              3) a_n =3n+39              4) a_n=2n+2

3.Из арифметических прогрессий выберите ту, для которой выполняется условие

20а₁₀1) а_n=3n                  2) a_n =2n+20             3) a_n =3n-5           4) a_n=2n-10

IV. Закрепление и обобщение темы.

Повторить формулы по темам « Арифметическая прогрессия» и «Формула суммы n первых членов прогрессии»

Решение задач.

Сначала пробуйте решить задачу самостоятельно, затем кто-нибудь покажет решение на доске.

1. Найти сумму 19 первых  членов арифметической прогрессии

a₁, a₂, a₃, ..., если известно, что a₄ + a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 224.

Согласно формуле общего члена арифметической прогресии a_n = a₁ + d(n - 1). Тогда
a₁ + d(4 - 1) + a₁ + d(8 - 1) + a₁ + d(12 - 1) + a₁ + d(16 - 1) = 224
4a₁ + 36d = 224
a₁ + 9d = 56
a₁ = 56 - 9d

По формуле суммы арифметической прогрессии
S₁₉ = (a₁ + a₁₉) / 2 * 19 = (2a₁ + 18d) / 2 * 19 = (a₁ + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

Ответ: 1064

2. Самостоятельная работа на 10 минут.

Задания на карточках. Задания 1,2,3- на оценку «3»

                                                     4,5,6- на оценку «4» и «5»  

Тест по теме « Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. В арифметической прогрессии (а_n): 15; 11; 7;… разность d=?

2. Дано: а₁= - 4; d=3.

Найдите а₂₀

3.Дано:  а₁= - 3; d=7.

Найдите S₇.

4. Дано: а₇=21; а₉=29.

 Найдите d; а₁.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превышающих 80.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного  -198, если а₁=5; d= - 7?

Вариант 2

1. В арифметической прогрессии (а_n): 12; 9; 6;…разность d=?

2.Дано: а₁=5; d=-7.

Найдите а₃₀.

3. Дано: а₁= - 2; d=9.

Найдите S₇.

4. Дано: а₇=22; а₉=32.

Найдите d; а₁.

5. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превышающих 150.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного 53, если  а₁= - 4; d=3?

3.Величины углов выпуклого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 42°. Найдите эти углы.

Дано: арифметическая прогрессия , ,

Найти: , , ,

Решение:

Рассмотреть разные способы решения задачи.

1способ

а₁ +а₁+d +а₁+2d+ а₁+3d=360

4а₁+6d =360

а₁=27 остальные углы   , , .

2 способ

 3 способ   

, т. к.

Ответ: , , , .

4. Задача. Бригада маляров красит забор длиной 300 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый день бригада покрасила 20 метров забора. Определите, сколько метров забора покрасила бригада в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

Решение:

Задачу можно решить задав арифметическую прогрессию (а_n),

а₁=20; S₆=300; a₆=?

Ответ: 80 метров.

5.Решить уравнение

( x+x+1)+(x+2x+3)+(x+3x+5)+…+(x+20x+39)=4500

(Найти закономерность составления уравнения)

Решение уравнения с помощью формулы суммы n первых членов  арифметической прогрессии

Ответ :17

6. Геометрическая задача

Длина сторон прямоугольного треугольника три последовательных члена возрастающей арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии, если периметр треугольника равен 120.
Решение.
Пусть разность прогрессии равна d, d0.
Составим систему и решим её
стороны   прямоугольного треугольника а_1, а₁+d, а₁+2d,

а₁ +а₁+d +а₁+2d=120

3а₁+3d=120

а₁=40-d

а₁²+( а₁+d)²= (а₁+2d)²

а₁² - 2 а₁d -3 d² =0 при а₁=40-d
d=10

Ответ: d=10.

Стороны чему равны? На какой треугольник похож?
( Египетский треугольник)

V. Подведение итогов урока

Выставление оценок

VI.  Домашнее задание

673,677,674 для слабых учащихся

673,677,674, 675,678 для сильных учащихся