"Kasrlarga umumiy maxraj berish" mavzusida bir soatlik dars ishlanmasi

Faraz kilaylik, bizdan

aniq integralning taqribiy qiymatini topish talab etilsin.

x 0 , x 1 , x 2 , . . . x n nuqtalar yordamida [a; b] kesmani

N ta teng bulakchalarga bo`lamiz.

Har bir bulakchaning uzunligi

.

Bo’linish nuqtalari esa:

x 0 = a; x 1 = a + h; x 2 = x + 2h;

x 3 = a+3h …; x n-1 = a+(N-1)h; x N = b

Bu nuqtalarni tugun nuqtalar deb ataladi.

f(x) funktsiyaning tugun nuqtalaridagi qiymatlari

orqali aniqlanadi.

[a,b] kesmani bo`lish natijasida hosil bo`lgan barcha to’rtburchaklarning yuzini hisoblab, ularni jamlab

(1)

Bu yerda to`g’ri turtburchak yuzini hisoblashda uning chap tomon ordinatasi olindi.

Agar o’ng tomon ordinatami olsak ham shunday formulaga ega bo`lamiz:

(2)

Misol. To`g’ri turtburchaklar formulalari yordamida

integralning taqribiy qiymatlari topilsin.

Echish. Bu yerda a=0; b=1; n=10; h=(b- a)/n=0,1.

x 0 =a=0; x 1 =a+h=0,1; x 2 =a+2h=0,2; x 3 =a+3h=0,3

x 4 =a+4h=0,9 … x 9 =a+9h=0,9; x 10 =b=1

• dan

• dan

Ma`lumki ,

aniq yechim chap va o’ng formulalar orqali topilgan yechimlar orasida yotadi.

Trapetsiyalar formulasi

Bu xulosalarni nazarga olgan xolda (1) va (2) formulalar xadlarini moc ravishda ko’shib o’rta arifmetigini olsak, quyidagi ifoda hosil bo`ladi:

(3)

(3) formula trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formula yordamida topilgan integralning taqribii qiymatining aniqligini oshirish uchun bulinish nuqtalari soni n» ni ikki, uch va x.k. marta oshirish kerak bo`ladi. Albatta bunda ham hisoblash xajmi bir necha marotaba oshadi.

Misol.

Bo`linishlar soni 10 bo`lganda ε=0,001 aniqlikda hisoblang.

Yechish.

h=(b-a)/n=(3,5-2)/10=0,15

bo`linish nuqtalari x i =a+ih, i =1,.., 10

x 0 =2,00

x 1 =2,15

x 2 =2,30 y 2 =f(2,30)=0,3350

x 3 =2,45 y 3 =f(2,45)=0,3371

x 4 =2,60 y 4 =f(2,60)=0,3402

x 5 =2,75 y 5 =f(2,75)=0,3443

x 6 =2,90 y 6 =f(2,90)=0,3494

x 7 =3,05 y 7 =f(3,05)=0,3558

x 8 =3,20 y 8 =f(3,20)=0,3637

x 9 =3,35 y 9 =f(3,35)=0,3733

x 10 =3,50 y 10 =f(3,50)=0,3849

(3) formulaga ko’ra

Simpson yoki parabola formulasi .

[0,3333-0,3849+4(0,3338+0,3371+0,3443+

+0,3558+ 0,3733)+2(0,3350+0,3402+

+0,3494+0,3637)]=

=0,05(1,0515+4*1,7443+ +2*1,3883)=0,05*10,8013= 0,54265 .

Этиборингиз учун рахмат