Исследовательская работа по математике "Доказательство неравенств"

Введение.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статика, и экономика. Однако до сих пор нет разработанной общей «теории неравенств».

Школьный курс математики знакомит нас с неравенствами по двум направлениям:

1) ответить на вопрос «Что больше?» применительно к нескольким (чаще всего к двум) конкретным действительным числам

2) «Решить неравенство» (линейное, квадратное, дробно рациональное, показательное, логарифмическое…)

На школьных и городских олимпиадах по математике я встретилась с задачами на установление истинности неравенств с переменными. И справиться с этой задачей мне не удалось. Именно тогда я задалась вопросом: «Какими методами можно решать такие задания?»

1. Числовые неравенства и их свойства

Определение: Говорят, что число а>b, если разность а - b>0. Символическую запись a>b называют числовыми неравенствами.

Определение: Говорят, что число a<b, если разность a - b<0

Используются также знаки нестрогих неравенств  или . Запись a b означает, что число а либо больше числа b, либо равно b.

Для любых заданных чисел а и b, имеет место одно и только одно из соотношений: a>b, a<b, a=b.

Для любых действительных чисел a, b, c, d имеют место свойства:

Если a>b, то b<a

Если a>b и b>c, то а>c

Если a>b, то a+c>b+c

Если a>b и с>0, то ac>bc

Если a>b и с<0, то ac<bc

Если a>b и c>d, то a+c>b+d

Если a, b, c, d - положительные числа, причем a>b и c>d, то ac>bd

Смотрите документ

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств, или как узнать «что больше?»

2. 1. Сравнение двух действительных чисел по определению.

Прием заключается в следующем: составляем разность числовых выражений, чьи значения сравниваются, и стараемся преобразовать эту разность так, чтобы положительность, отрицательность или равенство нулю её значения, стала очевидна.

Весь материал – смотрите документ.