Использование компьютерных технологий на уроках алгебры и геометрии

Пример 2. Сравним числа: а) log 3 5 и log 3 7 ; б) log 1 /3 5 и log 1 /3 7

• Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 7 5 , то log 3 5 и log 3 7.
• В данном случае основание логарифма меньше 1, поэтому функция log 1 /3 x убывает, и, следовательно, log 1/3 5 log 1/3 7.

На содержание

Параллельность плоскостей

Основные свойства плоскостей в пространстве

• Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
• Аксиома 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Определение

• Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

1. Свойство параллельных плоскостей

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2. Свойство параллельных плоскостей

• Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Признак параллельности плоскостей

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

• Через точку данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и при том только одну.

Теорема

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Возможны 3 случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

• а) прямая лежит в плоскости;
• б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
• в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение

• Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема

• Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Определение

• Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Определение

• Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Тригонометрические функции y = sin x , y = cos x

Определение

Если точка M числовой окружности соответствует числу t , то абсциссу точки M называют косинусом числа t и обозначают cos t , а ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sin t .

Итак,

y

Если M (t) = M (x ; y), то

x = cos t

y = sin t

B

.

M (t)

.

.

sin t

C

cos t

x

O

D

Отсюда следует, что

-1 ≤ sin t ≤ 1

-1 ≤ cos t ≤ 1 .

Таблица знаков синуса и косинуса по четвертям окружности

Четверть окружности

Cos t

1-я

Sin t

2-я

+

3-я

-

+

4-я

-

+

+

-

-

Уравнение числовой окружности имеет вид

х 2 + у 2 = 1.

Тем самым фактически получено важное

равенство, связывающее sin t и cos t :

со s 2 t + sin 2 t = 1

Таблица значений для sin t и cos t

t

cos t

0

sin t

п /4

1

п /2

0

√ 2 /2

√ 2/2

0

3 п /4

- √ 2/2

1

п

√ 2/2

-1

5п /4

- √ 2/2

3 п /2

0

7 п /4

0

- √ 2/2

-1

√ 2/2

2п

- √ 2/2

1

0

t

п /6

cos t

√ 3/2

п /3

sin t

1/2

2 п /3

1/2

√ 3/2

-1/2

5п /6

7п /6

- √ 3/2

√ 3/2

- √ 3/2

4 п /3

1/2

5п /3

-1/2

-1/2

11 п /6

1/2

- √ 3/2

√ 3/2

- √ 3/2

-1/2

Чтобы по числу x найти значение sin t , нужно :

• Расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка A окружности попала в точку (1 ; 0).
• На окружности найти точку, соответствующую числу t .
• Найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t .

Функция у = sin x

y

1

п

- п

-2 п

3 п / 2

2п

x

O

-п /2

п /2

-3п /2

-1

Свойства функции y = sin x

• Область определения – множество R действительных чисел:

D(f) = (-∞ ; + ∞)

• s = sin t – нечетная функция.

График симметричен относительно началу координат в прямоугольной системе координат tOs .

3 . Функция возрастает на отрезке [ 0;п / 2 ] и убывает на отрезке [ п /2 ;п ]

B

При движении точки по

первой четверти числовой

окружности (от 0 до п /2 )

ордината постепенно

увеличивается

(от 0 до 1 – рис. а)

При движении точки по

второй четверти числовой

окружности (от п / 2 до п)

ордината постепенно

уменьшается (от 1 до 0 – рис. b )

C

O

A

D

B

a)

O

C

A

D

b)

Рассуждая аналогично, можно сделать общий вывод :

функция s = sin t возрастает на любом отрезке вида

[- п /2 + 2 п k; п /2 + 2 п k]

и убывает на любом отрезке вида [ п /2 + 2 п k; 3 п /2 + 2 п k] , где k є z .

4. Функция s = sin t ограничена и снизу, и сверху

Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу, если все значения функции не меньше некоторого числа ; иными словами, если существует число m такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется неравенство f(x) ≥ m.

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху, если все значения функции не больше некоторого числа ; иными словами, если существует число M такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется неравенство f(x) ≤ M .

Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции

s = sin t следует из того, что, как мы видели выше, для любого t справедливо неравенство

-1 ≤ sin t ≤ 1

5. s наим. = -1 (этого значения функция достигает в любой точке вида t = - п /2 + 2 п k); s наиб. = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида t = п /2 + 2 п k )

Под s наим. и s наиб. понимаются соответственно наименьшее и наибольшее значения функции

s = sin t.

6. y = sin x – непрерывная функция

Непрерывность функции на промежутке X означает, что график функции на промежутке X – сплошной, то есть не имеет проколов и скачков.

7. Область значений функции – отрезок [ -1 ; 1 ]: E(f) = [ -1 ; 1 ]

График функции y = cosx

Свойства функции y = cosx

• D(f) = (- ∞ ; + ∞ ) .
• D(f) = (- ∞ ; + ∞ ) .
• D(f) = (- ∞ ; + ∞ ) .

• y = cosx – четная функция. График симметричен относительно оси ОХ.
• y = cosx – четная функция. График симметричен относительно оси ОХ.
• y = cosx – четная функция. График симметричен относительно оси ОХ.

• функция y = cosx :
• функция y = cosx :
• функция y = cosx :

• убывает на отрезке [ 0;п ] Возрастает на отрезке [ п; п /2]
• убывает на отрезке [ 0;п ] Возрастает на отрезке [ п; п /2]
• убывает на отрезке [ 0;п ] Возрастает на отрезке [ п; п /2]
• убывает на отрезке [ 0;п ]
• Возрастает на отрезке [ п; п /2]

• УНАИМ = -1 (ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЯ ДОСТИГАЕТ В ЛЮБОЙТОЧКЕ ВИДА Х = П + 2ПК). УНАИБ = 1 (ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЯ ДОСТИГАЕТ В ЛЮБОЙ ТОЧКЕ ВИДА Х = 2ПК).

• У = COSX – НЕПРИРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ (-∞; +∞).

• Е( f ) = [ -1 ; 1 ] .

С оюз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст», которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.

Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога.

Фауст: Не пентаграмма ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?

Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Пифагор афоризмы

Старайся прежде быть мудрым, а ученым - когда будешь иметь свободное время. Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные торговать, а самые счастливые -смотреть. Просыпаясь утром, спроси себя: "Что я должен сделать?". Вечером, прежде чем заснуть: "Что я сделал? ". Делай великое, не обещая великого. Старайся прежде быть мудрым, а ученым - когда будешь иметь свободное время. Начало есть половина всего. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Прежде старайся исследовать вещи, находящиеся вблизи тебя, затем те, которые удалены от твоего зрения. Только одно божество может обладать всеобъемлющей мудростью, а человеку свойственно лишь стремиться к ней. Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство.

По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь.

Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и её далёкий век, Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, её почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при с ч ёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72 о . Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни , груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа .

• Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. Т еорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

Дано: прямоугольный треугольник

Доказать: a 2 + b 2 = с 2

Доказательство:

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как на рисунке 187 из учебника Л.С. Атанасян “Геометрия 7-9”

S = (a + b) 2

S = S1 + 4 S2

(a + b) 2 = 4 * 1/2 ab + с 2

a 2 + 2 ab + b 2 = 2 ab+ с 2

a 2 + b 2 = с 2 теорема доказана.

• теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; геометрические способы решения квадратных уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; создание математической теории музыки учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• создание математической теории музыки
• учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах

Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

У=f(x-m)+n

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

К каким из данных треугольников можно применить теорему Пифагора

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником , так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Повторим преобразования

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ

План урока

Некоторые П ифагоровы тройки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Пифагор

и

его

теорема

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

У=f(x-n)

Функцию, заданную формулой вида у=(ах+b)/(сх+d), где х - переменная, а, b, c и d- заданные числа, называется

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ .

Функция у=(х+6)/(х+4) имеет график :

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Теорема

Пифагора

Определение

Повторим

преобразования

График данной функции получен из графика функции у=f(х) смещением по оси ОХ на m единиц и по оси ОУ на n единиц

ЗАДАНИЕ: Построить график функции у=(х+6)/(х+4)

• Выделим целую часть: (х+6)/(х+4)=(х+4+2)/(х+4)=1+2/(х+4)
• получаем функцию вида у= 2/(х+4) + 1
• Асимптотами являются прямые х = -4 и у =1
• Строим асимптоты, а затем на них как на осях построим график функции у= 2/х
• График на следующем слайде

Для получения данного графика из графика функции у=f(х) необходимо сместить его по оси ОХ на n единиц .

УРОКИ МАТЕМАТИКИ

УРОК МАТЕМАТИКИ Дробно-линейная функция и её график

Если дан нам треугольник Ипритом с прямым углом; То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем.

Для получения графика

функции у=f(x)+m из графика

функции у=f(x) необходимо

сместить его по оси ОУ

на m единиц

Асимптоты:

х=-4 и у=1

график – гипербола

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ В ИЗУЧЕНИИ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ !!!

• ВЫДЕЛЯЕМ ИЗ ДРОБИ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ
• ОПРЕДЕЛЯЕМ АСИМПТОТЫ
• СОСТАВЛЯЕМ ТАБЛИЦУ ДЛЯ ФУНКЦИИ у = к/х
• СТРОИМ ГРАФИК у = к/х НА АСИМПТОТАХ КАК НА ОСЯХ

S2

S2

План построения

S1

Графиком дробно-линейной функции является гипербола

Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрыв ки из стихотворения А. Шамиссо)

S2

Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

S2

Пример

построения

У=f(x)+m

Пифагор

и

его

теорема

• Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. Т еорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство.

По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь.

Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при с ч ёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; геометрические способы решения квадратных уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; создание математической теории музыки учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• создание математической теории музыки
• учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

С оюз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма– пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст», которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.

Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога.

Фауст: Не пентаграмма ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?

Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72 о . Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни , груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа .

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Теорема

Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и её далёкий век, Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, её почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрыв ки из стихотворения А. Шамиссо)

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Если дан нам треугольник Ипритом с прямым углом; То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем.

Дано: прямоугольный треугольник

Доказать: a 2 + b 2 = с 2

Доказательство:

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как на рисунке 187 из учебника Л.С. Атанасян “Геометрия 7-9”

S = (a + b) 2

S = S1 + 4 S2

(a + b) 2 = 4 * 1/2 ab + с 2

a 2 + 2 ab + b 2 = 2 ab+ с 2

a 2 + b 2 = с 2 теорема доказана.

S2

S2

S1

S2

S2

Некоторые П ифагоровы тройки

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

К каким из данных треугольников можно применить теорему Пифагора

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником , так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Пифагор афоризмы

Старайся прежде быть мудрым, а ученым - когда будешь иметь свободное время. Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные торговать, а самые счастливые -смотреть. Просыпаясь утром, спроси себя: "Что я должен сделать?". Вечером, прежде чем заснуть: "Что я сделал? ". Делай великое, не обещая великого. Старайся прежде быть мудрым, а ученым - когда будешь иметь свободное время. Начало есть половина всего. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Прежде старайся исследовать вещи, находящиеся вблизи тебя, затем те, которые удалены от твоего зрения. Только одно божество может обладать всеобъемлющей мудростью, а человеку свойственно лишь стремиться к ней. Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

УРОК МАТЕМАТИКИ Дробно-линейная функция и её график

План урока

Повторим

преобразования

Определение

План построения

Пример

построения

Повторим преобразования

Для получения графика

функции у=f(x)+m из графика

функции у=f(x) необходимо

сместить его по оси ОУ

на m единиц

У=f(x)+m

У=f(x-n)

Для получения данного графика из графика функции у=f(х) необходимо сместить его по оси ОХ на n единиц .

У=f(x-m)+n

График данной функции получен из графика функции у=f(х) смещением по оси ОХ на m единиц и по оси ОУ на n единиц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Функцию, заданную формулой вида у=(ах+b)/(сх+d), где х - переменная, а, b, c и d- заданные числа, называется

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ .

Графиком дробно-линейной функции является гипербола

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

• ВЫДЕЛЯЕМ ИЗ ДРОБИ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ
• ОПРЕДЕЛЯЕМ АСИМПТОТЫ
• СОСТАВЛЯЕМ ТАБЛИЦУ ДЛЯ ФУНКЦИИ у = к/х
• СТРОИМ ГРАФИК у = к/х НА АСИМПТОТАХ КАК НА ОСЯХ

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ

ЗАДАНИЕ: Построить график функции у=(х+6)/(х+4)

• Выделим целую часть: (х+6)/(х+4)=(х+4+2)/(х+4)=1+2/(х+4)
• получаем функцию вида у= 2/(х+4) + 1
• Асимптотами являются прямые х = -4 и у =1
• Строим асимптоты, а затем на них как на осях построим график функции у= 2/х
• График на следующем слайде

Функция у=(х+6)/(х+4) имеет график :

Асимптоты:

х=-4 и у=1

график – гипербола

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ В ИЗУЧЕНИИ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ !!!

Результаты работы

• Больше внимания уделяется потребности личности в саморазвитии Нет ситуации неуспешности Каждый учащийся чётко планирует программу действия Активизируется познавательная деятельность учащихся на уроках и в послеурочное время Возможна реализация опережающего обучения, в том числе и для учащихся с низким и средним уровнем обученности Максимально учитываются не только фактические знания, но и всесторонне оцениваются способности, умение работать в коллективе, индивидуальность мышления
• Больше внимания уделяется потребности личности в саморазвитии Нет ситуации неуспешности Каждый учащийся чётко планирует программу действия Активизируется познавательная деятельность учащихся на уроках и в послеурочное время Возможна реализация опережающего обучения, в том числе и для учащихся с низким и средним уровнем обученности Максимально учитываются не только фактические знания, но и всесторонне оцениваются способности, умение работать в коллективе, индивидуальность мышления
• Больше внимания уделяется потребности личности в саморазвитии Нет ситуации неуспешности Каждый учащийся чётко планирует программу действия Активизируется познавательная деятельность учащихся на уроках и в послеурочное время Возможна реализация опережающего обучения, в том числе и для учащихся с низким и средним уровнем обученности Максимально учитываются не только фактические знания, но и всесторонне оцениваются способности, умение работать в коллективе, индивидуальность мышления
• Больше внимания уделяется потребности личности в саморазвитии Нет ситуации неуспешности Каждый учащийся чётко планирует программу действия Активизируется познавательная деятельность учащихся на уроках и в послеурочное время Возможна реализация опережающего обучения, в том числе и для учащихся с низким и средним уровнем обученности Максимально учитываются не только фактические знания, но и всесторонне оцениваются способности, умение работать в коллективе, индивидуальность мышления
• Больше внимания уделяется потребности личности в саморазвитии
• Нет ситуации неуспешности
• Каждый учащийся чётко планирует программу действия
• Активизируется познавательная деятельность учащихся на уроках и в послеурочное время
• Возможна реализация опережающего обучения, в том числе и для учащихся с низким и средним уровнем обученности
• Максимально учитываются не только фактические знания, но и всесторонне оцениваются способности, умение работать в коллективе, индивидуальность мышления

Математика 5-6

Алгебра 7-11

Геометрия 7-11

Используя новые технологии, я поняла, что главное действующее лицо на уроке - ученик, и потому говорю себе:

• не навреди.

• новое – ещё не значит хорошее.
• помни, что идей всегда больше, чем пользы от них.
• помни традиции: они тебе пригодятся.
• записывай каждую крупицу своих открытий.
• твори , выдумывай, пробуй.

- Использование компьютера на уроках математики способствует активной творческой деятельности учащихся.

- Применение возможностей компьютера, строгость в соблюдении “правил игры” с принципиальной познаваемостью этих правил способствует большей осознанности учебного процесса, повышают его интеллектуальный и логический уровень.

- Компьютер является как помощником школьника, так и контролером .

Спасибо за внимание