Информационно-познавательный проект по математике «История развития геометрии»

Индивидуальный проект

учащихся 7-ых классов

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа № 28»

Информационно-познавательный проект по математике

«История развития геометрии»

Автор: Исрафилова Карина

7б класса, МКОУ «ООШ № 28»

Наставник:

Фомина Анна Юрьевна,

учитель математики,

МКОУ «ООШ № 28»

Миасский городской округ

2021

Содержание

1. Введение ………………………………………………………………………….3
2. Возникновение геометрии……………………………………………………….4
3. Развитие геометрии в Египте……………………………………………………7
4. Геометрия в Греции………………………………………………………………8
5. Вклад русского математика Лобачевского Н.И………………………………..11
6. Практическое доказательство теоремы Пифагора…………………………….11
7. Заключение……………………………………………………………………….15
8. Литература………………………………………………………………………..16
9. Приложение………………………………………………………………………17

1. Введение

В этом учебном году у нас в школе появился новый предмет, который называется «Основы геометрии». Поэтому у меня появился огромный интерес исследовать возникновение и развитие геометрии, узнать о жизни великих ученых, показать их роль в становлении данной науки.

Целью работы изучить и исследовать развития и становления геометрии как науки и показать какую роль играет геометрия в жизни людей различных времен и народов.

Задачи:

1. Изучить литературу об истории науки геометрии;

2. Узнать какой вклад внесли известные ученые в становлении геометрии;

3. Провести практическое доказательство теоремы Пифагора.

Актуальность темы: Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т.д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения. Несмотря на то, что возраст геометрии исчисляется тысячелетиями, геометрия и сейчас продолжает бурно развиваться. Она сохраняет важнейшее значение в наши дни. Она применяется в строительствах, технике, в практической жизни.

1. Возникновение геометрии

В начале XX века великий французский архитектор Ле Корбюзье сказал:

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия».

Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет нам предмет – геометрия, который мы начали изучать с этого года.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету, они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами. [1]

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. [1]

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д.

Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов.

Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки.

«Все боится времени, но само время боится пирамид». [4]

В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра.

Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

Слово «геометрия» пришло к нам из Греции. Оно составлено из двух слов: «гео», что в переводе на русский язык обозначает «земля», и «метрио» - «мерю». Само слово «геометрия» указывает на практическое происхождение науки. Геометрия (от греч. geо — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. [2]

Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем. Но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории. Геометрия дает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях фигур. Действительно, фигура и есть пространственная форма, поэтому в геометрии, например, говорят, "шар", а не "тело шарообразной формы". Расположение и размеры определяются пространственными отношениями. Наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, так же есть некоторое отношение между двумя фигурами - данной и той, в которую она преобразуется. [1]

1. Развитие геометрии в Древнем Египте

Древний Египет считается первым государством, оставившим самые ранние математические тексты. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Первой книгой, содержащей геометрические задачи, считается папирус Райнда (в некоторых источниках Г. Ринла), который датируется ХХ веком до нашей эры. Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства.

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в. до н.э.

Что умели древние египтяне: Умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной, трапециевидной формы. Умели строить прямоугольный треугольник при помощи веревки, разделенной узлами на 12 равных частей. Знали, что отношение длины окружности к диаметру - число постоянное, приближенное значение этого числа – π. Среди пространственных тел самым египетским можно считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов, хотя довольно близко они знакомы с кубом, параллелепипедом призмой и цилиндром, умели вычислять объем этих фигур. Умели вычислять объем усеченной пирамиды, в основании которой квадраты.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» написано: «Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках». [5]

1. Геометрия в Греции

Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э.. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.

Великий ученый Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук – геометрию. Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Он был причислен к семи мудрецам древности, среди которых он первый. Фалес решил следующие задачи. Предложил способ определения расстояния до корабля на море. Вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени. Доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Ввел понятие движения, в частности поворота. Доказал второй признак равенства треугольников и впервые применил его в задаче. Создал теорему о равных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. В настоящее время существует мнение о том, что многие открытия Фалеса были просто заимствованы из египетской науки.

Еще один древнегреческий математик, философ - Пифагор Самосский.

Он учился ге­ометрии у египтян, которые занимались ею с древних времен. Пифагор считал геометрию необходимой для фило­софов. Доказанная им знаменитая теорема носит его имя. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Наибольшее влияние на всё последующее развитие геометрии оказали труды греческого учёного Евклида, жившего в Александрии в III веке до нашей эры. Центральное место среди античных трудов по геометрии занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом. Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию. В «Началах» были систематизированы известные к тому времени геометрические сведения, и геометрия впервые предстала как математическая наука.

Евклид жил в Александрии, был современником царя Птоломея I и учеником Платона. Славу Евклиду создал его собирательный труд «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название - Евклидова. Величайшая заслуга его состояла в том, что он подвел итог построению геометрии, придал ее изложению столь совершенную форму, что на 2 тысячи лет «Начала» стали основным руководством по геометрии. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодежь изучала геометрию. Были и другие. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.

Конечно, геометрия не может быть создана одним ученым. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил работу своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах. Ученый гордо ответил:

" В геометрии нет царской дороги".

«Начала» состоят из 13 книг. Первые четыре посвящены геометрии на плоскости. В 1 книге излагается планиметрия прямолинейных фигур: устанавливаются их свойства, заканчивается прямой и обратной теоремой Пифагора. Во 2 книге излагается основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, в четвертой строятся правильные n-угольники при n = 3, 4, 5, 6, 10, 15. 11 книга посвящена стереометрии. Она содержит основные теоремы о прямых и плоскостях в трехмерном пространстве, задачи на построение, например, как опустить перпендикуляр из данной точки на данную плоскость. 12 книга посвящена решению задачи о квадратуре круга. 13 книга излагает учение о правильных многогранниках. В целом творение Евклида величественно. Созданная им система просуществовала более двух тысяч лет. Но последующие математики не во всем соглашались с системой аксиом и определений и пытались ее улучшить. Некоторые оказались ненужные, например, что прямые углы равны. Это очевидно из других аксиом. Особенное неудовлетворение всегда вызывал пятый постулат, утверждавший: что через любую точку плоскости можно провести только одну прямую параллельную данной. Многие считали ее теоремой и пытались ее неудачно доказать.

Помимо Евклида выдающимся учёным был Архимед (287 -212 гг. до н. э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя  Герона. Ему принадлежат теоремы о площадях плоских фигур, объёмах тел. В работе «Измерение круга» он приводит вычисления приближённого значения длины окружности. В книге «О шаре и цилиндре» им даны вычисления объёма шара и площади его поверхности.

Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что правильных многогранников только пять, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. В результате были получены так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название « тела Архимеда».

Учёный, по выражению современников, был околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле изобразить цилиндр со вписанным в него шаром и указать соотношение объёмов этих тел. Позже именно по этому изображению была найдена могила Архимеда. [4]

1. Вклад русского математика Лобачевского Н.И.

В 1826 году великий русский математик Николай Иванович Лобачевский поставил точку в проблеме пятого постулата. Вместо него он принял допущение, согласно которому в плоскости можно построить, по крайней мере, две прямые, не пересекающиеся. Дальнейшие его рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой сейчас геометрией Лобачевского. В его геометрии сумма углов треугольника меньше 180°, в ней нет подобных фигур. В ней существуют треугольники с попарно параллельными сторонами.

Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Геометрия Лобачевского - геометрия Вселенной, геометрия бесконечного пространства, таящего в себе множество нераскрытых тайн. Но, несмотря на то, что возраст геометрии исчисляется тысячелетиями, геометрия и сейчас продолжает бурно развиваться. Она сохраняет важнейшее значение в наши дни. Она применяется в строительствах, технике, в практической жизни. Без неевклидовой геометрии не обойтись современной астрономии, космонавтике, физике. [7]

1. Практическое доказательство теоремы Пифагора

Пифагорейцы и числа. Пифагорейцы изучили варианты, в которых величины всех сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами. Вообще, они придавали числам очень большое значение, считая, что через них можно выразить все закономерности в мире. И сами числа они наделяли разнообразными свойствами. Например, они считали, что 5- символизирует цвет, 6- холод, 7- разум, здоровье и свет, 8- любовь и дружбу, и так далее.

Числа, которые изучали Пифагорейцы. Числа, равные сумме всех своих делителей, такие как 6, 28, 496, 8128, они считали совершенными.

Одна из самых главных заслуг Пифагора – это теорема, которая носит его имя…

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим-

И таким простым путём

К результату мы придём.

Кантор (немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э.. По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. обратной теоремой Пифагора) для построения прямых углов в планировке земельных участков и сооружений зданий. [6]

Доказательство теоремы Пифагора, основанное на построении равнобедренных треугольников

Дано:   АВС – прямоугольный, АВ = ВС. (Приложение 1, рис.1)

Доказать:  = +

Доказательство:

1)Построим: квадрат со стороной а; квадрат со стороной с; квадрат со стороной b.

2) Построим диагонали квадратов, получим равнобедренные треугольники, равные треугольнику АВС (Приложение 1, рис.2)

3) Площадь квадрата со стороной с складывается из учетверенной площади треугольника АВС, а площадь квадрата со сторонами а и b – из удвоенной площади треугольника АВС:

= 4SABC

= 2SABC

= 2SABC

Cледовательно,  = + .

Доказательство теоремы Пифагора, предложенное древними индусами (Приложение 1, рис.3), (Приложение 2, рис.1)

Для первого квадрата:  = + 4SABC.

Для второго квадрата:  = + +4SABC.

Следовательно, +4SABC = + +4SABC. = + .

Древние индусы не записывали доказательство, а свои рисунки сопровождали словом «СМОТРИ».

Доказательство теоремы Пифагора, основанное на разрезании квадратов

Известны доказательства теоремы Пифагора, основанные на разрезании квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. (Приложение 2, рис.2)

Доказательство Перигаля

В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа. (Приложение 2, рис.3). [7]

Доказательство Бетхера

На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера. (Приложение 3, рис.1) [6]

Доказательство Гутхейля

Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника. (Приложение 3, рис.2)

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более двухсот, но стремление к преумножению их числа сохранилось. [3]

ЗАДАЧИ

1. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? (Приложение 3, рис.3)

Решение:

1) + =

= 144 +25

= 169

X = 13

2) 13 ∙ 4 = 52 (м) Ответ: 50 м для крепления мачты не хватит.

1. У египтян была известна задача о лотосе:

"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну".

Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора. (Приложение 4, рис.1,рис.2)

К теореме Пифагора его ученики составляли стишки, вроде:

«Пифагоровы штаны во все стороны равны» [7]

А также рисовали такие карикатуры (Приложение 4, рис.3, рис.4, рис. 5)

1. Заключение

Наука геометрия очень важна для человека. Геометрия развивалась за несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции. Большой вклад в развитие геометрии внесли известные учёные: Евклид и его книга под названием «Начала», Архимед, Пифагор, Фалес и другие ученые. Наука геометрия и сейчас развивается. Мы легко решаем задачи, для которых в древности потребовалось бы много времени и сил.

Сегодня уже в начале XXI столетия мы можем повторить восклицание архитектора Корбюзье с ещё большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника – всё имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и учёных. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужно ли нам Геометрия?» Во-первых, геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука началась с геометрии. Ребёнок, ещё не научившийся говорить, познаёт геометрические свойства окружающего мира. Во-вторых, геометрия является одной из составляющей общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Основой курса геометрии является принцип доказательства всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Итак, Геометрия – один из важнейших предметов, причём не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Её целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не мыслимые цели образования.

1. Литература

1. Глейзер Г. И. История математики в школе. - М. : Прсвещение, 1982г

2. Депман И. Я.,Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. - М.Просвещение,1989

3. Детская энциклопедия «Махаон»

4. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. - М.: Просвещение, 1995

5. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. – М. :Просвещение, 1995

6. Шарыгин И.Ф., Л.Н. Ерганжиева. Налядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. - М. : Дрофа, 2002

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/

8. http://www.google.ru

14