Игоммгмгмггммгмггмом

Тема. Розв’язування ірраціональних рівнянь різними методами

Мета уроку: Познайомити учнів з методами розв’язування ірраціональних рівнянь. Сформувати уміння розв’язувати ірраціональні рівняння різними методами ;провести корекцію знань раніше вивченого матеріалу й умінь учнів; розвивати способи й прийоми раціонального мислення, індивідуальні здібності учнів, їх пізнавальні інтереси; навички колективної та групової роботи; уміння використовувати сформовані знання, навички й уміння у видозмінених умовах; сприяти формуванню культури усного та писемного мовлення та міжособистісного спілкування.

Як правильно треба було розв’язати рівняння ...

5x +11 − (x +1) = 2 5x+1 =12+x+1

5 x + 1 1= 3 + x квадрата:

x2 +x−2=0

x1 = −2 ; x2 = 1

Перенесемо вираз (х+1) до правої частини рівняння

У рівнянні є подібні доданки,їх зводять.

Щоб звільнитися від кореня ,обидві частини рівняння підносять до

0 Зведемо подібні доданки:

Розв’яжемо,утворене квадратне рівняння через теорему Вієта

Зробємо перевірку,підставляючи знайдені корені у дане

2 5x+1 =19+6x+x

2

( 5x+1 )1=(3+x)

2

2

9+6x+x −5x−1 =1

рівняння. Перевірка:

5(−2)+1 −1(−2)−1=2 1+3=2

корень:

4=2

Рівність невірна,тому -2 не є коренем даного рівняння.

-2 називають стороннім коренем даного рівняння. Підставляємо другий 51+1 −11−1=2; 16−2=2 ;4−2=2; 2=2

Відповідь: х = 1

1.Метод піднесення обох частин рівняння до одного степеня.( Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримаємо рівняння, яке є

наслідком даного.)

Розв'язання. Схема обчислень таких прикладів наступна:

Переносимо від'ємний доданок за знак рівності й підносимо корені до квадрата. Щоб не виникла ситуація, коли під коренем отримаємо від'ємне значення. У кінці обов'язково перевіряємо відповідь, або знаходимо ОДЗ ,але це приводить до громіздких записів, витрачається багато часу на розв’язання.

Оскільки підкореневий вираз повинен бути додатним, то модулі опускаємо й групуємо подібні доданки:

Отримане квадратне рівняння за теоремою Вієта має корені x=1; x=5. Спробуймо підставити одиницю в рівняння

Отримали корені з від'ємних чисел. Це в ірраціональних Тепер спробуйте підставити x=5

Отримали тотожність і перевірили єдиний правильний розв'язок ірраціонального рівняння x=5.

2. Метод заміни змінних.( Даний метод зручно застосовувати тоді, коли при піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня виникають громіздкі

розв’язавши утворене раціональне рівняння, маємо відкинути сторонні корені, повернутися до заміни й розв’язати відповідне ірраціональне рівняння.

рівняннях недопустимо.

23 x+1−6 x+1=6

перетворення.)

Розв’язок полягає в замінні кореневого виразу введенням нової змінної. Потім,

3

23 x+1−6 x+1=6

Дома розвязавши рівняння,знайшов корені.

у= -1,5 не задовольняє умові . Повернемось до заміни

Відповідь : х = 63.

3. Метод розкладання на множники. ( Метод розкладання на множники полягає в розкладанні всіх доданків рівняння на множники, прирівнявши їх до нуля. Потім, знайшовши ОДЗ, маємо розв’язати сукупність множників як окремого рівняння.)

В нашому рівнянні x2 x + 6 − 49 x + 6 = 0 є наявний однаковий множник , який треба винести за дужки і розкласти ліву частину на множники.

x2 x+6−49 x+6=0

або

;

Відповідь: х = - 6 ; х= 7.

4. Графічний метод. (Графічний метод базується на побудові графіків відповідних

функцій, які стоять в обох частинах рівняння, та знаходженні їхніх точок перетину, що є відповідно розв’язками даного рівняння. Недоліком даного методу, є те , що для

більшості функцій ми не зможемо знайти точного розв’язку.) √х − 2 = 3. х

Рівняння x − 2 = 3 розв’язується графічно. Побудувавши графіки функцій x

y = x − 2 (вітка параболи) та y = 3 (гіпербола) в одній системі координат, ми x

отримаємо точку перетину А( 3;1), абсциса якої і є розв’язком рівняння: х=3

4

При розв’язуванні будь-якого ірраціонального рівняння треба спочатку уважно роздивитися й проаналізувати умову рівняння, а потім визначитися з методом розв’язування рівняння. Цей метод називається – метод « пильного погляду».

1 група. Метод розкладання на множники.

У рівнянні 7x x−5−49 x−5=0 наявний однаковий множник x−5, який треба винести за дужки й розкласти ліву частину на множники.

Розв'язання. 7x x−5−49 x−5=0 ; або

Відповідь : х= 5

Ми вважаємо, що цей метод був виправданим для виконання поставленої мети.

2 група. Метод заміни змінних.

Показники коренів другого рівняння 2 x−1+4 x−1=3 2 і 4, 4 у 2 рази більше, ніж 2. Тому треба ввести нову змінну й прийти до квадратного рівняння.

Розв'язання. 2 x−1+4 x−1=3;

5

Повертаемося до заміни :

Відповідь : х = 2.

3 група. Графічний метод. Ми вважаємо,що для 3 рівняння треба використати

графічний метод. х − 3 = 4 Побудувавши графіки х

функцій в програмі GeoGebra :

(вітка параболи) і (гіпербола) в одній системі координат, ми отримаємо точку перетину А(4;1),

абсциса якої і є розв’язком рівняння: Відповідь: х=4.

4 група. Метод піднесення обох частин рівняння до одного степеня .

У першому рівнянні x2 + 2x +10 = 2x −1 ми бачємо в лівій і правій частинах

корінь другого степеня, тому використовуємо метод піднесення до степеня.

x2+2x+10= 2x−1

;

Висновок: знання правил, формул і методів розв’язання рівнянь може суттєво скоротити час на виконання завдання.

Застосування ірраціональних рівнянь у житті сучасної людини:

Існує думка, що математика, яка вивчається в школи, не має практичного застосування в житті. Але мені не хочеться з цим погоджуватися. Виявляється, ірраціональні рівняння застосовуються не тільки в математиці.

6

1.

2.

3.

4.

VII Готуємося до ЗНО. 1.ЗНО 2006 No26

ОДЗ:

х= -3 ; х= 2 – сторонній корінь.

x2−х−6= −2х

;

Перевіряемо ОДЗ : х= -3; 9- (-3) – 6 = 6 . Відповідь: х= - 3.

7

2. ЗНО 2008 No28. (Учні самостійно розв’язують це рівняння , потім учням треба знайти правильну відповідь на бланках з QR- кодом. Якщо вибір буде правильним, тоді вони почують музику,яка грала на початку уроку)

ОДЗ:

х= 6 – сторонній корінь.

Перевірка:

Відповідь: х= - 2.

Відповідь: х= - 2. Відповідь: х= 6.