Графический способ в заданиях №18 ЕГЭ

Задания типа 18

18.1 Найти все значения а , при каждом из которых уравнение 1=|x – 3| - |2x + a| имеет единственное решение.

у

Решение:

Перепишем уравнение: |2x + a| = |x – 3| - 1 . Построим графики функций: у = |x – 3| - 1 и у = |2x + a| .

0

2

4

х

Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку с координатами (2; 0) или (4; 0). Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению у = |2x + a| . Значит,

0 = |4 + a| или 0 = |8 + a|

а = - 4 а = - 8.

Ответ : - 8 или – 4 .

2

а |x| а → |x| -а А так же Знать и строить: уравнение, линию, алгоритм построения: прямая y = kx + b – линейная, надо иметь, хотя бы, 2 точки парабола y = а x² + b х + с – квадратная, *направление ветвей *пересечение с ОХ * х₀ = - b/2a – абсцисса вершины – ось симметрии * выделять полный квадрат Центр (0;0), R - радиус x² + y² = R² – окружность , Центр ( a ; b ), R - радиус ( x- а ) ² + ( y- b )² = R² – окружность , k 0 y = - гипербола линии выше ОХ оставляем y = | f(x) | точки оси ОХ y = f(x) линии ниже ОХ симметрично график график в верхнюю полуплоскость " width="640"

2

ПАМЯТКА

x , если х ≥ 0

|x| =

Пользоваться определением модуля

– x , если х ˂ 0

x и х а

|x| а →

|x|

-а

А так же

Знать и строить: уравнение, линию, алгоритм построения:

прямая

y = kx + b – линейная,

надо иметь, хотя бы, 2 точки

парабола

y = а x² + b х + с – квадратная,

*направление ветвей

*пересечение с ОХ

* х₀ = - b/2a – абсцисса вершины – ось симметрии

* выделять полный квадрат

Центр (0;0), R - радиус

x² + y² = R² – окружность ,

Центр ( a ; b ), R - радиус

( x- а ) ² + ( y- b )² = R² – окружность ,

k 0

y = - гипербола

линии выше ОХ

оставляем

y = | f(x) |

точки оси ОХ

y = f(x)

линии ниже ОХ

симметрично

график

график

в верхнюю полуплоскость

3

y = I k f( m x + c ) + b I

Контрольный вопрос

Преобразования

графика

y = I k f( m ( x + a ) ) + b I

Как построить график …

исходная

по точкам

1. y = f( х )

а, если m = -2 ?

m = ¹∕₃

-

растянуть в 3 раза

вдоль оси ОХ

2 . y = f( m х )

❹

-

а, если a = 2 ?

-

-

❸

a = - 2

сдвинуть на 2 вправо

3 . y = f( m ( х + a )

-

-

-

-

-

❷

-

-

-

-

-

-

-

-

❺

-

k = 2

а, если k = -¹∕₂ ?

4 . y = k f( m ( х + a ) )

-

-

растянуть в 2 раза

вдоль оси О Y

Выбирайте «яркие» точки графика – концы промежутков, пересечения с ОХ и ОУ – переносите их согласно компоненту действия.

-

сжать и (-)

b = - 2

влево

5 . y = k f( m ( х + a ) ) + b

а, если b = ¹∕₂ ?

сдвинуть на 2

вниз

сжать и (-)

?

вверх

Линия при Х ≥ 0 и

6 . y = k f( m ( I х I + a ) ) + b

симметричная ей

при Х ≤ 0

относительно оси ОУ

2

18.2 Найдите все значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение.

у

4

В

2

А

х

0

- 4

- 2

РЕШЕНИЕ.

Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс.

Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем,

тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению

у

2

А

В

х

0

- 4

- 2

Ответ:

, поэтому ее график есть часть параболы

, поэтому ее график есть часть параболы с

Задача 18.3 Найдите все значения a , при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.

Решение.

1. Функция f имеет вид:

а) при

с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;

б) при

ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

Задача 18.3 Найдите все значения a , при каждом из которых функция

имеет более двух точек экстремума.

2) График обеих квадратичных функций проходят через точку ( a 2 ;f(a 2 )) .

3) Функция y=f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае (рис. 1):

Ответ:

7

18.4 Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

x – 9, если х ≥ 0 ,

По определению модуля:

|x| – 9 =

– x – 9, если х ˂ 0 ,

( –1 ) ²

х ²

∙ х ² =

( – х) ²

х ² =

= ( –1 ∙ х) ² =

Заметим:

= ( –1 ) ²

( - (х+9)) ²

∙ (х+9) ²

= (х+9) ²

( – x – 9 ) ² =

( - х – 9)² + (у – 5)² = 9

(х + 9)² + (у – 5)² = 9

(х – 9)² + (у – 5)² = 9

х ≥ 0

х

График уравнения - совокупность двух окружностей.

R = 3

центры

(-9; 5)

(9; 5)

единственная

8

Второе уравнение

Первые уравнения

График 1-го уравнения системы:

у

у

(х – 9)² + (у – 5)² = 9

(х + 9)² + (у – 5)² = 9

Центр (9; 5)

Центр (-9; 5)

BC²

13

АС =

= 61

первый ответ:

окружность

Центр (-3;0)

Радиус

МЕНЯЕТСЯ

B

А

А

В

R = 3

R = 3

3

●

●

5

5

3

13

С

●

-9

9

9

х

х

О

О

-9

1

1

-6

-3

12

12

6

6

Второй случай

12

R= а

10

18.5 Найти значения а, при которых уравнение

2

Корни

имеет более двух корней.

на [ 0; + ∞ )

= a |x-5|

х+1

- абсциссы точек

g(x)

f(x)

пересечения

величина «УГОЛКА» модуля

g(x) = a |x-5|

2

f(x) =

зависит от а

х+1

y = x-5

5

гипербола

y = |x-5|

на [ 0; + ∞ ]

= ²⁄ 5

а

3 корня

→

при х = 0

a(5- x)

a( x-5)

❶

2

левый луч «УГОЛКА»

касается гиперболы

2 корня

●

❷

❸

●

●

●

1 корень

2 корня

0,5

●

Определим точку касания

3

5

2

g(x)

= a (5- x ) – левый

луч

Должны выполняться условия:

f(x) =

х+1

-2

g ′ (x)

f ′ (x) =

= - a

(х+1)²

-5

2 (5-x)

2

х+1

5-x

=

|∙

= ²⁄ 9 (2 корня)

1=

а

х = 2 в точке касания

х+1

(х+1)²

х+1

2

а Є

(²⁄ 5 ; ²⁄ 9 ]

лучи «УГОЛКА»

Ответ:

ЕГЭ. 07.06.12.

12

4 а 1 = 3 3 х 2 -3х-18=0, х 1 =-3, х 2 =6 . Число -3 не удовлетворяет условию х 4. а(6) = 6-4+3 = 5 а 2 = 5 . х 4 0 1 3) При x а 3 -20 Ответ: 8. " width="640"

18.6 Найдите сумму целых значений параметра а , при которых уравнение имеет три корня.

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

,

.

График этой совокупности — объединение

«уголка» и параболы.

а 3

а 3 = ?

а

Подвижная прямая а=а 0 пересекает график совокупности в трёх точках, если а=а 1 ,

а=а 3 .

а=а 2 ,

а 2 = ?

а 2 =5

1) а=а 1 а = 3 .

2) При х 4

а 1 = 3

3

х 2 -3х-18=0, х 1 =-3, х 2 =6 . Число -3

не удовлетворяет условию х 4.

а(6) = 6-4+3 = 5 а 2 = 5 .

х

4

0

1

3) При x

а 3

-20

Ответ: 8.

0 , y = q | x | + p; p = 1. q . Ответ: р = 1 или р = -1. у 1 х 0 1 -1 -1 " width="640"

18.7 Найдите все значения р, при каждом из которых найдётся q такое, что система имеет единственное решение:

Решение:

Графиком функции х 2 + у 2 = 0 является окружность с центром (0; 0) и R = 1.

• q = 0 , у = р; р = 1 или р = -1.
• q 0 , y = q | x | + p; p = 1.
• q .

Ответ: р = 1 или р = -1.

у

1

х

0

1

-1

-1

18.8

Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно 4 решения.

Решение . Преобразуем данную систему:

Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы.

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt .

14

14

18.8

t

График первого уравнения – ромб, диагонали которого, равные 8 и 6 , лежат на осях Ох и О t , а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r =  a  .

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно 4 решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб,

либо ее радиус удовлетворяет условию

3 r .

3

х

4

-4

-3

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 , откуда

В втором случае получаем 3 a  , откуда −4 a ; 3 a

Ответ: а =  2,4 ; −4 −3 ; 3 4.

16

16