Функцияны интерполяциялоо

КЫРГЫЗ РЕСПУБЛИКАСЫНЫН ИЛИМ, ЖОГОРКУ БИЛИМ БЕРҮҮ ЖАНА ИННОВАЦИЯЛАР МИНИСТРЛИГИ “ Б.ОСМОНОВ АТЫНДАГЫ ЖАЛАЛ-АБАД МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИ ” ИЛИМИЙ БИЛИМ БЕРҮҮ ӨНДҮРҮШТҮК КОМПЛЕКСИ ЖАЛАЛ-АБАД КОЛЛЕДЖИ

Предмет: Дискреттик математика жана сандык методдор

Тайпа: ПОВТАСк-4-24

Окутуучу: Полотова Алима Закировна

Манас-2025

Функцияны интерполяциялоо

Сабактын максаты:

• Функцияны интерполяциялоонун маанисин жана негизги ыкмаларын үйрөнөсүңөр.
• Сызыктуу интерполяциянын, Ньютондун жана Лагранждын көп мүчөлөрүнүн формулаларын билесиңер.
• Интерполяциялоонун ыкмаларын мисал иштөөдө колдоносуңар.

Күтүлүүчү натыйжалар:

• Функцияны интерполяциялоо жөнүндө түшүнүк аласың.
• Функцияны интерполяциялоонун ыкмаларын үйрөнөсүң.
• Ньютондун жана Лагранждын интерполяциялык көп мүчөлөрүнүн формулаларын билесиң.
• Берилген тапшырмаларды аткарууда Ньютондун жана Лагранждын интерполяциялык көп мүчөлөрүнүн формулаларын колдоносуң.
• Реалдуу турмуштук мисалдарда функцияны интерполяциялоонун маанисин түшүндүрөсүң.

Өбөлгө түзүүчү суроолор:

• Функция деген эмне? Ал эмне үчүн маанилүү?
• Функциянын маанисин табуу үчүн биз ар дайым формула билүүго тийишпизби?
• Эгер формула белгисиз болсо, бирок айрым чекиттер белгилүү болсо, анда ортодогу маанини кантип тапса болот?
• Эгер унаанын 1 сааттагы жолу 40 км жана 3 сааттагы жолу 100 км болсо, анда 2 сааттагы аралыкты кантип табабыз?
• Эгер аба ырайы саат 12:00 дө +С, ал эми саат 15:00дө + С болсо, саат 13:30 дагы температура болжол менен канча болот деп ойлойсуңар?

Интерполяция

Техникада жана өндүрүш тармагында эсептөөлөрдө интерполяциясыз иштөө мүмкүн эмес. Бүгүн ушул ыкманы өздөштүрөбүз.

Интерполяция – бул математикада белгилүү чекиттердин ортосундагы белгисиз маанилерди табуу ыкмасы.

Интерполяциянын алгачкы ыкмалары Байыркы Вавилон жана Кытай астрономдорунун иштеринде кездешкен. Алар жылдыздардын кыймылын, күн жана айдын тутулуусун алдын ала эсептөө үчүн колдонушкан. Орто кылымда араб математиктери интерполяциялык эсептөөлөрду өркүндөтүп, аны тригонометриялык таблицалардын тактыгын жогорулатуу үчүн колдонушкан. 17-18 – кылымдарда Исаак Ньютон, Лагранж жалпы формулаларды түзүшүп, интерполяциялык математиканын негизин түзүшкөн.

Бүгүнкү күндө жасалма интелект жана санариптик технологиялардын өзөгүнө айланган ыкма.

Функцияны интерполяциялоо программалоодо кайсыл жерде колдонулат?

• График түзүү жана анимация – программаларда график же кыймылдуу анимацияны жылмакай көрсөтүү үчүн интерполяция колдонулат. Мисалы: Компьютердик оюндарда каармандын кыймылы чекиттен чекитке секирип эмес, жылмакай кыймылдашы үчүн интерполяция колдонулат.
• Температура же сенсордук маалыматты иштетүүдө – эгер сенсор белгилүү убактарда гана маани берсе, интерполяция аркылуу аралык маанилерди эсептесе болот.
• Сүрөт иштетүүдө – интерполяция сүрөттү чоңойтуу же кичирейтүүдө маанилүү. Пикселдердин ортосундагы жаңы түстөр интерполяция жолу менен эсептелет.
• Машина үйрөнүүдө – кээде маалыматтар толук болбой калат. Ошондо интерполяция менен жетишпеген маанилерди толуктайбыз.

Интерполяция – белгилүү чекиттердин ортосундагы маанин табуу ыкмасы.

• Эки чекит үчүн – сызыктуу интерполяция – жөнөкөй жана тез.

• Көп чекит үчүн – Лагранж же Ньютон көп мүчөлөрү – тактык үчун.

• Жылмакай, татаал өзгөрүүлөр үчүн – сплайн интерполяциясы колдонулат.

Сызыктуу интерполяция – бул эки белгилүү чекиттин ортосундагы маанилерди табуу ыкмасы.

жана белгилүү болсо, орто маани төмөнкү формула аркылуу табылат:

Мисалы.

Жооп:

Функциянын маанилерин белгилүү бир чекиттерде билебиз, бирок алардын ортосундагы маанилерди табышыбыз керек. Ошондо Лагранждын көп мчөсү ортодогу белгисиз маанини табууга жардам берет.

Ньютондун көп мүчөсү – бул функциянын ортодогу белгисиз маанисин кадам-кадам менен эсептөөгө мүмкүнчүлүк берген интерполяция формуласы.

• Эки чекит аркылуу 1-тартиптеги ийри сызыкты жүргүзүүгө болот (түз сызык)
• Үч чекит аркылуу 2-тартиптеги ийрини жүргүзүүгө болот (парабола)
• Төрт чекит аркылуу 3-тартиптеги ийрини жүргүзүүгө болот (кубдук функция)

Сплайн интерполяция – бул функциянын белгилүү чекиттери аркылуу жылмакай ийри сызык өткөрүү ыкмасы. Ар бир чекиттин ортосунда өзүнчө кичине көп мүчө колдонулат.

Эмне үчүн сплайн деп аталып калган?

«Spline» – бул англисче сөз, которгондо чийме кур дегенди түшүндүрөт.

Инженерлер ийри сызыктарды чийүү үчүн таяк колдонушкан- ошол таяк чекиттер аркылуу жылмакай өтүп, азыркы «сплайн интерполяциясынын» негизин түзгөн. Бул:

• Компьютердик графикада – жылмакай ийрилерди түзүүдө,
• Робототехникада – кыймылдын жылмакай траекториясын эсептөодө колдонулат.

1-тапшырма (жеке иштөө) – сызыктуу интерполяция

жана белгилүү болсо, орто маани төмөнкү формула аркылуу табылат:

Мисалы.

. Жооп:

• Эгер унаанын 1 сааттагы жолу 40 км жана 3 сааттагы жолу 100 км болсо, анда 2 сааттагы аралыкты кантип табабыз?

• Эгер аба ырайы саат 12:00 дө +С, ал эми саат 15:00дө + С болсо, саат 13:30 дагы температура болжол менен канча болот деп ойлойсуңар?

2-тапшырма (жупта иштөө) Лагранждын интерполяциялык көп мүчөсүнүн формуласын колдонуп, чекиттеги маанисин тапкыла.

L(2,5)=?

L(1,5)=?

L(1)=?

L(3)=?

L(2)=?

х

1

y

2

2

3

8

18

№ 1.

№ 2.

х

y

0

1

1

2

2

5

№ 3.

х

-1

y

0

-1

2

1

9

х

1

y

2

0

4

3

15

№ 4.

х

0

y

0

1

1

3

9

№ 5.

3-тапшырма (топто иштөө) Ньютондун интерполяциялык көп мүчөсүн колдонуп интерполяциялык ийрини тургузгула

1-топ. 2-топ.

x

1

y

2

2

3

3

5

4

4

x

1

y

1

2

3

4

9

4

16

Жыйынтык

• Интерполяциялоо – турмушта, инженердик эсептөөлөрдө, программалоодо, карта түзүүдө кеңири колдонулат.
• Лагранждын, Ньютондун көп мүчөлөрүнүн формулаларын колдонуп, функциянын ортодогу маанисин табууга болот.
• Ньютондун көп мүчөсү – ар бир жаңы маанисин кошкондо, мурунку эсептерди кайра колдоно аласың. Бул ыкма эсептөөнү акырындык менен кеңейтип отурууга ыңгайлуу.
• Интерполяция – бул математика менен технологиянын биримдиги. Ал сүрөттөрдү, графиктерди жана видеолорду сапаттуу кылат.

Үй тапшырма

№

х

0

у

1

1

1,5

2

2

3

2

3

2,5

2,5

4

4

3

4,5

Ньютондун интерполяциялык көп мүчөсүн колдонуп,

интерполяциялык ийрини тургузгула.