Факультативное занятие по матемтаике "Системы симметрических уравнений"

Учащиеся, привыкшие решать системы привычными тремя способами, сталкиваются с проблемой: Как решить системы, если нельзя выполнить почленного сложения, красиво выразить одну переменную через другую. В этом случае может помочь универсальная подстановка рассмотренная в данной разработке.  Разабрав примеры с учителем, в групповой работе учащиеся смогут использовать данную подстановку при решении систем уравнений третий степени.

Теоретический блок.

Система уравнений называется симметрической (симметричной), если при замене переменной х на переменную у  и у на переменную х, уравнения,  входящие в систему, не изменятся.

В любой симметричной системе уравнений ответы симметричны, т.е. если пара чисел (х₀, у₀) – решение системы, то пара чисел (у₀, х₀) тоже является решением.

Симметричные системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические  многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = x+y,  v = xy

х² + у²  = (х + у)² – 2ху = u² – 2v

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = u(u² – 2v – v) = u³ – 3uv и тд

Практический блок.

Взаимопроверка и разбор спорных заданий.

Рефлексия.

Факультатив по математике

8 класс

Разработка занятия по теме:

Системы симметрических(симметричных) уравнений

Теоретический блок.

Система уравнений называется симметрической (симметричной), если при замене переменной х на переменную у и у на переменную х, уравнения, входящие в систему, не изменятся.

В любой симметричной системе уравнений ответы симметричны, т.е. если пара чисел (х₀, у₀) – решение системы, то пара чисел (у₀, х₀) тоже является решением.

Симметричные системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = x+y, v = xy

х² + у² = (х + у)² – 2ху = u² – 2v

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = u(u² – 2v – v) = u³ – 3uv и тд

Практический блок.

1. Решите систему уравнений:

Решение:

пусть x +y = u, xy = v

Произведем обратную замену.

Используя обратную теорему Виета или способ подстановки, получаем

х₁ = 1, х₂ = 3

у₁ = 3, у₂ = 1

Ответ: (1;3), (3;1)

1. Решите систему уравнений:

Решение:

Замена х + у = а, ху = в

9в + 9 – в² - в = 25

в² – 8в + 16 = 0

(в – 4)² = 0

в = 4

Произведем обратную замену.

Ответ: (1;4), (4;1)

Работа в группах.

Решите системы уравнений:

1. (3;2), (2;3),

2. (2; - 1), (- 1; 2)

3. (), ()

Взаимопроверка и разбор спорных заданий.

Рефлексия