Факультатив по математике
8 класс
Разработка занятия по теме:
Симметрические(симметричные) и возвратные уравнения.
Теоретический блок
Симметрическим(симметричным) уравнением 3-ей степени называют уравнение вида
| ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа. |
|
Решение уравнения осуществляется при помощи разложения левой части уравнения на множители:
ax3 + bx2 + bx + a= (ax3 + a) + (bx2 + bx) = a(x3 + 1) + bx(x + 1)= a(x + 1)(x2 – x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2 + ax + a + bx) = (x + 1)( ax2 + (a + b)x + a) = 0 
x + 1 = 0 
ax2 + (a + b)x + a = 0
Симметрическими(симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида
| ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0, где a, b, c – заданные числа.
|
|
Для того, чтобы решить возвратное уравнение (1), разделим его на x2. В результате получится уравнение
= 0
Преобразуем левую часть уравнения :
В результате этого преобразования уравнение принимает вид
Если теперь обозначить
| 
| (●) |
то уравнение станет квадратным уравнением:
Найдем корни уравнения , а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (●), решим полученное уравнение относительно x.
Аналогично решается второе уравнение.
Данные уравнения часто называют и возвратными. При этом, если уравнение нечетной степени, то один из корней равен -1 или 1.
Возвратные уравнение - это уравнения четной степени.
Возвратное уравнение 4 -ой степени имеет вид ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где 
Решение похоже на решение симметрического уравнения
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Ӏ : х2
ax2 +bx + c + 
= 0
(ax2 + 
) + ( bx + 
) + c = 0
Делаем замену: у = bx + , выражаем ax2 + через у. Решаем квадратное уравнение, не забывая в конце вернуться в замену и найти х.
Практическое занятие:
1) Решить уравнение: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.
Решение.
2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0
(2x3 + 2) + ( 7x2 + 7x ) = 0
2(х3 + 1) + 7х(х + 1) = 0
2(х + 1)(х2 – х + 1) + 7х(х + 1) = 0
(х + 1)(2х2 – 2х + 2 + 7х) = 0
(х + 1)( 2х2 + 5х + 2) = 0
х + 1 = 0 и 2х2 + 5х + 2 = 0
х1 = - 1 х2,3 = 
=
х2 = - 2; х3 = - 
Ответ: -1; -2; -
2) Решите уравнение: 2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0
Решение:
2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0 Ӏ : х2
2х2 + 3х – 16 + 
= 0
(2х2 
) + (3х + 
) – 16 = 0
2(х2 
) + 3(х + 
) – 16 = 0
Пусть у = х + , тогда х2 = 
у2 – 2
2(у2 – 2) + 3у – 16 = 0
2 у2 +3у – 20 = 0
D= 9 + 160 = 169
У1= 
У2 = 
= - 4
х + = - 4
2х2 – 5х + 2 = 0, х 
0 х2 + 4х + 1= 0, х 0
D = 25 – 16 = 9 D = 16 – 4 = 12
х1 = 2; х2 = 0,5 х3,4 = 
= - 2 
Ответ: 2; 0,5; - 2
3) Решите уравнение: 2х5 – 3х4 - х3 – х2 – 3х + 2 = 0
Решение:
2х5 – 3х4 - х3 – х2 – 3х + 2 = 0 Уравнение нечетной степени, поэтому одним из
(х + 1)(2х4 – 5х3+ 4х2 – 5х + 2) = 0 корней будет х = - 1. Выполним деление на (х + 1)
х1 = - 1 2х4 – 5х3+ 4х2 – 5х + 2 = 0 Ӏ : х2 Используем правило решения
2х2 – 5х + 4 - 
= 0 симметрического уравнения.
2(х2 + 
) – 5(х + ) + 4 =0
Пусть у = х + , тогда х2 + = у2 – 2
2(у2 – 2) – 5у + 4 = 0
2у2 – 5у = 0
2у(у – 2,5) = 0
у1 = 0 у2 = 2,5
х + = 0 х + = 2,5
решения нет х2- 2,5х + 1 = 0
х2 = 2; х3 = 0,5
Ответ: - 1; 2; 0,5
4) Решите уравнение: х4- 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0
Решение:
х4- 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 – возвратное уравнение, т.к.
a =1, b = - 5, c = 10, d = - 10, e = 4
х4- 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 Ӏ : х2
х2 - 5х + 10 - 
= 0
( х2 
) – 5(х + 
) + 10 = 0
Пусть у = х + , тогда х2 = у2 – 4
у2 – 4 – 5у + 10 = 0
у2 – 5у + 6 = 0
у1 = 3 у2 = 2
х + = 3 х + = 2 х 0
х2 - 3х + 2 = 0 х2 – 2х + 2 = 0
х1 = 1 х2 = 2 D
Ответ: 1; 2
Самостоятельная работа.
Задание: Решите уравнения:
4х2 + 12х + 
= 47 (0,5; 2; 
)
= 5
(2; 6)
5х5 – 6х4 – 79х3 – 79х2 – 6х + 5 = 0 (-1; 
; 5)
х4 - х3 – 10х2 + 2х + 4 = 0 (- 1 
)
4х4 – 16х3 + 3х2 + 4х – 1 = 0 (
)
Получите свидетельство
Вход
Факультатив по математике "Симметрические и возвратные уравнения" (28.8 КB)
0
1373
119
Нравится
0
