Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит

применение в том или ином деле»

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни высших слоев общества большое место занимали азартные игры.

В карты и кости выигрывали и проигрывали золото, бриллианты, дворцы и имения. Широко были распространены всевозможные лотереи.

Поэтому первые комбина-

торные задачи касались в

основном азартных игр:

• Сколькими способами можно выбросить

нужное число очков, бросая кости;

• Сколькими способами можно получить

двух королей в карточной игре и т.д.

Одним из первых занимался

подсчетом числа различных комбинаций

при игре в кости итальянский

математик Тарталья.

Проблемы азартных игр занимали

французских ученых Паскаля и

Ферма .

Они решали комбинатор-

ными методами задачу

о разделе ставки.

• В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея, которая сохранилась в некоторых странах до сих пор.

Суть ее в следующем:

участники лотереи

покупали билеты,

на которых стояли

числа от 1 до 90.

Можно было купить

билеты, на которых

было сразу два, три, четыре или пять чисел. В день

розыгрыша из мешка, содержащего жетоны с числами

от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те,

у которых все числа на билете были среди выбранных.

Например, если на билете числа 8, 21, 49, а выбранными оказались числа 3, 8, 21, 37, 49, то билет выигрывал , если же выбрали 3, 7, 21, 49, 63 . то билет проигрывал – ведь числа 8 среди выбранных не оказалось.

Если участник лотереи покупал билет с одним числом, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стоимости билета – если с двумя числами (амбо), в 270 раз больше, если с тремя числами (терн), то в 5500 раз больше, если с четырьмя (катерн) – в 75000 раз, а если с пятью числами (квин), то в 1000000 раз больше, чем стоит билет.

Многие пытались обогатиться в этой лотерее и выиграть миллион, но это никому не удавалось – лотерея была рассчитана так, чтобы в выигрыше оставались ее устроители.

Почему?

Цель: вычисление вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

Задачи:

1. Повторить основные понятия комбинаторики и формулы их вычисления.

2. Вспомнить правила комбинаторики, применяемые при решении задач.

3. Закрепить полученные знания на практике (при решении задач).

Выдающийся советский математик, заслуженный деятель науки и техники, кораблестроитель, механик, автор работ по теории магнитных компасов и истории физико-математических наук. Понимая, что без глубокого знания математики немыслимо стать настоящим моряком, он все свободное время посвятил ее изучению.

Алексей Николаевич Крылов

Генуэзская лотерея: Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить билеты, на которых было сразу два, три, четыре или пять чисел. В день розыгрыша из мешка, содержащего жетоны с числами от 1 до 90 вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у которых все числа на билете были среди выбранных.

1) Вероятность выигрыша при покупке билета с одним числом Р=0,056

2) Вероятность выигрыша при покупке билета с двумя числами Р=0,0025

3) Вероятность выигрыша при покупке билета с тремя числами

Р= 0,000085

4) Вероятность выигрыша при покупке билета с четырьмя числами

Р= 0,000002

5) Вероятность выигрыша при покупке билета с пятью числами

Р= 0,000000022

От случайностей никто не застрахован. Может случиться так, что продано очень мало билетов и при этом в одном из них угаданы все пять чисел. В этом случае устроители лотереи терпят огромные убытки. Чтобы этого не произошло, они должны продать как можно больше билетов. Чем больше билетов продано, тем больше прибыли. Поэтому организаторы лотереи заинтересованы в хорошей рекламе.

Спасибо за внимание