Элективный курс по математике "Решение линейных, квадратных уравнений и неравенств с параметром"

Решение линейных, квадратных уравнений

и неравенств с параметром

На примере реализации программы элективного курса для 9 класса.

Выполнила: Дайбова Юлия Владимировна –

учитель математики

МКОУ «СОШ № 17»

имени Героя России Шендрика В.Г.

г. Миасса Челябинской обл.

2015 г.

Содержание:

1. Актуальность выбранной темы.

2. Психолого-педагогическое обоснование.

3. Пояснительная записка.

4. Тематическое планирование курса.

5. Примеры разработанных занятий.

6. Литература.

Актуальность выбранной темы.

Задачи с параметром традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Кроме того, задачи с параметром обладают высокой диагностической и прогностической ценностью, поэтому они стали неотъемлемой частью как выпускных, так и вступительных экзаменов.

Школьная базовая программа уделяет мало времени решению задач с параметрами, предлагая рассматривать их факультативно. Вместе с тем, все выше сказанное указывает на то, что решению таких задач надо обучать специально, выделяя для этого время на уроке для всех учащихся. Но в классах, где я преподаю математику, только четвертая часть учащихся способна овладеть способами решения такого типа задач. Поэтому, начиная с 7 класса, на факультативных занятиях с группой учащихся, которые проявляют интерес к математике, мы начинаем с простых примеров, содержащих параметры:

7 класс – решение линейных уравнений (4 часа);

8 класс – решение систем линейных уравнений (4 часа),

решение квадратных уравнений (6 часов),

решение линейных неравенств (4 часа);

9 класс – решение квадратных неравенств (4 часа),

расположение корней квадратного трехчлена (4 часа).

В течение трех лет ребята, посещающие факультативный курс имеют представление о задачах с параметром и способах их решения, конечно не очень сложных.

Но эксперимент по созданию системы предпрофильной подготовки учащихся основной школы, которая предполагает изучение школьниками предметных курсов по выбору, позволит в системе и глубже рассмотреть данную тему в 9 классе. Построение данного курса соответствует возможностям и интересам учащихся.

Значимость заданий этого типа не ограничивается лишь их диагностической ценностью, т.к. деятельность по их решению способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию, а также позволяет формировать у них представления об особенностях реальной исследовательской деятельности.

К постановке задач с параметрами приводят, например, следующие исследовательские задачи:

• выявление условий разрешимости тех или иных математических задач;

• вывод общей вычислительной формулы и определение границ ее

применимости;

• изучение условий сохранения и степени варьирования свойств

математических объектов;

• установление границ влияния характеристик реального объекта на тот или

иной с ним связанный процесс, изучаемый с помощью математического

моделирования и т.д.

Со многими из этих исследовательских задач учащиеся сталкивались в процессе вывода формул, доказательства теорем. Например, решение уравнений ax=b, ax²+bx+c=0, cost=a, типичная задача на поиск решения уравнения в зависимости от значений параметров a, b, c.

С задачами исследования решений относительно параметра учащиеся встречаются и в процессе решения текстовых задач, и геометрических задач, содержащие буквенные данные.

Пояснительная записка.

Разработанная программа элективного курса для IX класса позволяет учесть возрастные особенности учащихся, углубить знания по данной теме, повысить уровень математической подготовки, поэтому в качестве неотъемлемого измерителя подготовленности школьника выступает система задач, которые могут быть использованы в дальнейшем процессе обучения в старшей школе.

Изучение темы направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, продолжения образования;

• развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция;

• формирование представлений об идеях и методах решения задач с параметром;

• воспитание средствами математики культуры личности, понимание значимости данного вопроса в системе ряда тем школьного курса математики X – XI классах.

Реализация указанных целей достигается в результате последовательного изучения решения задач с параметрами, начиная с простейших и переходя к более сложным, используя различные способы решения.

Работа учащихся должна быть построена таким образом, чтобы на занятиях формировалось культурное, духовное, эстетическое, нравственное, творческое, интеллектуальное развитие.

Поэтому в ходе работы предлагаю использовать групповую, индивидуальную формы организации занятий, занятия – лекции (по изучениюотдельных тем курса), семинары по итоговому повторению и закреплению решения задач, элементы математических игр.

В результате изучения данного курса учащиеся должны уметь:

• анализировать ход решения задачи с параметром;

• отбирать решение задачи, соответствующее конкретному условию;

• интерпретировать результат, с учетом ограничения, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений (целочисленность, положительность, пределы изменения);

• исследовать уравнения и неравенства в зависимости от входящих параметров, используя аналитический и графический способы решения.

Применять полученные знания для составления и исследования задач с параметрами.

Тематическое планирование курса.

Психолого-педагогическое

обоснование

Гуманизация – ключевой элемент нового педагогического мышления, утверждающего полисубъектную сущность образовательного процесса. Основным смыслом образования в этом случае становится развитие личности.

Гуманизация образования предполагает единство общекультурного, социально-нравственного и профессионального развития личности; учащийся выступает субъектом обучения (единство реализации деятельностного и личностного подходов).

Образование должно удовлетворять личностным запросам, согласно Л.С. Выготскому, ориентированно на «зону ближайшего развития», т.е. на психические функции, которые уже созрели у ребенка и готовы к дальнейшему развитию. Данная ориентация требует выдвижения таких целей образования, которые обеспечивали базисные качества, но обязательно необходимые для развития личности в том или ином возрастном периоде.

Диалогический подход предполагает преобразование позиции педагога и позиции учащегося в личностно-равноправные, в позиции сотрудничающих людей. При этом должны соблюдаться определенная последовательность, динамика: от максимальной помощи педагога учащимся в решении учебных задач на начальной стадии образования через постепенную активизацию учащихся к полной саморегуляции в обучении и появлению отношений партнерства между ними. Саморазвитие личности зависит от степени творческой направленности образовательного процесса: основа принципа индивидуально-творческого подхода. Он предполагает непосредственную мотивацию учебной и других видов деятельности, самодвижения к конечному результату. Это дает возможность учащимся испытать радость от осознания собственного роста и развития, от достижения собственных целей. Основное назначение индивидуально-творческого подхода состоит в создании условий для самореализации личности, в выявлении (диагностике) и развитии ее творческих возможностей.

К вопросу о соотношении развития и обучения обращался один из наиболее известных отечественных психологов Л. С. Выготский. Он выделил и обобщил следующие наиболее широко распространенные точки зрения:

• обучение и развитие – два независимых друг от друга процесса; обучение «надстраивается» над созреванием; обучение чисто внешне использует возможности, которые возникают в процессе развития;

• обучение и развитие – два тождественных процесса;

• обучение может идти как вслед за развитием, так и впереди развития, продвигая его дальше (Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. – М., 1952 г.)

Для объяснения вопроса о влиянии обучения на развитие Л.С. Выготский ввел понятие о двух уровнях развития ребенка:

• Первый – зона актуального развития;

• Второй – зона ближайшего развития.

Первый уровень характеризует собой уже достигнутый ребенком уровень развития. Это уровень интеллектуальных задач, которые он способен решать полностью самостоятельно, без помощи взрослого.

Второй уровень обнаруживается не в самостоятельном, а в совместном со взрослыми решении задач ребенком. Второй уровень выше первого, т.к. при помощи взрослого ребенок способен решать более сложные задачи.

Выготский Л.С. сделал следующие выводы:

• Обучение создает зону ближайшего развития, которая затем переходит в сферу актуального развития;

• Обучение двигает вперед развитие, опираясь не только на созревшие функции, но и на те, которые еще созревают.

IX класс занимает в системе школьного обучения особое место. С его окончанием завершается важный этап обучения – получение неполного среднего образования, т.е. необходимого начального уровня, который должен обеспечить успешное осуществление ближайших жизненных перспектив человека. Подросток уже сейчас может сделать первоначальный профессиональный выбор, реализовать свои интересы в конкретной деятельности или продолжить углубленное изучение основ наук в старших классах.

Этот этап – важная веха в возрастном психическом развитии ребенка: завершение подросткового возраста и переход к юношескому, т.е. вступление в период психологического и социального взросления.

На этом этапе психические процессы и функции должны приобретать более глубокий содержательных характер. Соответственно надлежит измениться и характеру овладения учебными и иными навыками у девятиклассников: основные общеучебные и «предметные» (специальные) навыки должны сделаться устойчивыми и осознанными.

В этом возрасте около 45% учеников IX класса достигают довольно высоких уровней развития интеллектуальных умений и навыков. Это, в свою очередь, помогает им успешно усваивать весь учебный материал, создает условия для весьма продуктивной умственной деятельности как в процессе учебы, так и в более широком познавательном аспекте.

Для развития интеллектуальной сферы школьников, формирование самостоятельности мышления, осознанного владения приемами и способами интеллектуальной деятельности необходимо такое структурирование программного материала, при котором учащиеся получили бы прежде всего представление о нем и лишь затем, после общей ориентации, переходили к специальной проработке и детальному изучению многообразных, конкретных фактов, в которых эти единые для данного материала свойства существуют.

Необходимо добиваться, чтобы школьник осознанно владел приемами и способами умственной работы. Для этого важно обращать внимание детей на то, каким путем получен тот или иной результат, специально ставить усложняющиеся задачи по овладению мыслительными приемами более высокого уровня, разбивая тем самым культуру мышления, формируя навыки самостоятельного подхода к новому материалу. Существенное значение при этом имеет специальная постановка задачи на поиск самостоятельных решений.

Для формирования положительной устойчивой мотивации учебной деятельности важно, чтобы главным в оценке работы ученика был ее качественный анализ, подчеркивание всех положительных моментов, продвижений в освоении учебного материала и выявление причин имеющихся недостатков и путей их исправления. Необходимо развивать у учащихся умение самооценки и самоконтроля работы, для чего следует использовать разные формы взаимопроверки и взаимооценки, задания на рефлексию (анализ) своей деятельности.

Исходя из выше сказанного, предлагаемая программа курса «Решение линейных и квадратных уравнений (неравенств) с параметром» может быть предложена для изучения учащимися IX классов, как курс по выбору. Задачи с параметром не ограничиваются лишь диагностической ценностью, т.к. деятельность по их решению способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию, а также позволяет формировать у них представления об особенностях реальной исследовательской деятельности. Рассматривая различные примеры с параметром не только в математике, но и в физике, убеждаемся, что уравнения и неравенства с параметром имеют реальное внутриматематическое и прикладное значения.

Таким образом, задачи с параметром являются ценнейшем средством развития способности учащихся к осуществлению математической деятельности. Это доказывает образовательную значимость задач.

Сложность обучения решению задач с параметром определяется спецификой самой деятельности:

• ее не алгоритмичность;

• необходимость комплексного использования знаний и умений, переноса их в новые условия.

Поэтому традиционная схема обучения в информированности учащихся и организации их деятельности по использованию этой информации будет малоэффективна при обучении решению задач с параметром. Спецификой здесь является информация методологического характера, а теоретическая информация и терминология введенная для уравнений и неравенств с одной переменной, распространяется без каких-либо существенных изменений.

Поэтому здесь предпочтительней путь организации обучения основанный не на усвоении готовой информации, а на рефлексивном анализе собственных затруднений и успехов в решении задач. Этот путь определяется спецификой природы методологического знания, которое относится к знанию рефлексивного типа (источником является не восприятие внешней деятельности, а осознание внутреннего «я»).

К категории рефлексивной деятельности психологи и педагоги обратились в связи с задачами гуманизации и гуманизации образования, усиление его развивающей функции.

Психологами И.Н. Семеновым и С.Ю. Степановым [4] было доказано, что в мышлении можно выделить несколько иерархических уровней, наивысшими из которых являются уровни интеллектуальной и личностной рефлексии. Рефлексия выполняет регулирующую функцию в мышлении (планирует деятельность, контролирует осуществление программы, производит диагностику затруднений, корректировку образов и программ), а также интегрирующую функцию (способствует выявлению и обобщению знаний, содержащихся в опыте). Именно эта функция рефлексии делает эту деятельность образовательно-значимой.

Рефлексивные механизмы активизируются лишь в случаях появления интеллектуальных затруднений, поэтому включение учащихся в рефлексивную деятельность должно начинаться с подведения их к осознанию проблемы.

• Учитель ставит перед учащимися проблемную ситуацию, связанную с анализом их деятельности или оценкой результатов деятельности учителя;

• Учитель обсуждает с учащимися параметры анализа, демонстрирует возможные направления осуществления действий, критерии их оценки;

• Учитель предоставляет учащимся возможность самостоятельного принятия решений.

а) Рассмотрим процесс организации учебной деятельности учащихся по постановке задачи с параметром.

Учащиеся хорошо усвоили методы и приемы решения уравнений и неравенств с одним неизвестным. Им предлагается решить серию однотипных уравнений (неравенств). Задачи, составляющие эту серию, подбираются так, чтобы их единственным различием было числовое значение одного коэффициента. Сами же числовые значения должны быть таковы, чтобы делать процесс решения каждого задания в отдельности технически трудоемким, кроме того они должны быть типичными представителями всех классов, которые выделяются в результате решения уравнения (неравенства) с параметром.

Например:

Сколько точек пересечения имеет парабола у=2х²–8х+5 и прямая у=4х+23;

(у=4х–115; у=4х+3; у=4х–2)

Данная ситуация ставит перед учащимися проблему выбора между непосредственным решением каждого случая в отдельности и осуществлением решения в общем виде, введя условное обозначение для меняющегося коэффициента. В результате очевидного преимущества второго пути учащиеся приходят к постановке задачи с параметром: у=4х+р. А потом уже по этой задаче можно ставить различные вопросы, например, найти наименьшее целое значение Р, при котором парабола и прямая имеют наибольшее число общих точек.

Полученная задача вновь ставит перед учащимся проблему выбора способа решения; можно предложить учащимся начать реализацию обоих методов (по группам). Реализация интегрирующей функции рефлексии осуществляется за счет организации дискуссии о причинах предпочтения одного пути решения другому. Ценность беседы состоит в осознании учащимися того, что решение состояло в получении формул, выражающих зависимость х(р) и в установлении тех промежутков значений р, на которых эти формулы описывают решение исходной задачи, грамотность и аккуратность при выполнении графической иллюстрации и анализа выбора промежутков, соответствующих вопросу задачи.

Ответ: наибольшее число точек пересечения параболы и прямой – две: (–13;+∞), значит p = –12.

б) Другая особенность обучения решению уравнений (неравенств) с параметром, которые связаны со спецификой построения систем обучающих упражнений. В системе упражнений по каждой из намеченных тем предлагается выделять два блока задач – демонстрационный и тренировочный.

• Демонстрационные задачи должны быть представлены так, чтобы не только их содержание, но и взаимное расположение демонстрировали учащимся весь спектр возможных направлений варьирования ситуации. Этого можно достичь при использовании группировки упражнений. В разработанной программе курса примером является набор задач, решение которых подготовит учащихся к семинарскому занятию. После решения всех демонстрационных задач можно поставить перед учащимися проблему выявления тех особенностей решения, которые не получили пока освещения (х²–4х+а–1=0: найти значения параметра а, при которых два корня, каждый из которых больше 1. Не изучена тема: «Взаимное расположение корней квадратного уравнения»). Это заставит их вновь вернуться к решенным заданиям и осуществить рефлексивный анализ собственного опыта.

• Тренировочные упражнения имеют целью совершенствования опыта деятельности на основе приобретенных знаний и поэтому подбираются традиционным способом с той лишь разницей, что перед учащимся ставится задача решить их наиболее рациональным способом. Примерами таких задач можно рассмотреть задания для самоконтроля, которые прорешивают учащиеся после изучения конкретной темы.

Методическое обеспечение

элективного курса:

«Решение уравнений и неравенств

c параметром»

1. Введение:

1. Что такое параметр?

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежавшим заранее оговоренному множеству. (В школьных учебниках нет определения параметра, поэтому я объясняю учащимся это понятие указанной формулировкой, которую прочитала в одном из методических изданий).

1. Что означает «решить задачу с параметром»?

   • Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения

параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

• Решить неравенство с параметром – значит для любого допустимого

значения параметра найти множество всех решений заданного неравенства.

Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

1. Основные типы задач с параметром:

1 тип: Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих указанному промежутку.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметром»

2 тип: Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

3 тип: Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений.

4 тип: Уравнения, неравенства, их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений уравнения, неравенства, системы уравнений (неравенств) удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1. уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2. множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики, но большая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

1. Основные способы решения задач с параметром.

• Аналитический:

Способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Этот способ решения задачи с параметром является самым трудным, требуется в оформлении высокая грамотность, много усилий по овладению им.

• Графический:

В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики в координатной плоскости (x; y) или в координатной плоскости (x; a).

• Решение относительно параметра:

При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходном смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

1. 1) Занятие по теме:

«Решение систем двух линейных уравнений

с двумя неизвестными с параметром»

Цель: – формировать умение решать системы линейных уравнений с

параметром методом Крамера;

– развивать познавательную деятельность учащихся.

Тип занятия: введение нового материала

Ход занятия:

1. Повторение:

1. На доске: 3 учащихся оформляют решение систем по теме предыдущего занятия.

а) 2x + 3y = 10, – найти все значения параметра а, при которых система имеет

ax – 5y = 15 одно решение;

б) bx – 8y = 12, – найти все значения параметра b, при которых система не

2x – 6y = 15 имеет решения;

в) 15x + сy = 3, – найти все значения параметра c, при которых система имеет

5x +10y = 1 бесконечное множество решений.

1. Ответить на вопросы: (повторить теорию) все остальные.

   • Вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными;

   • Что значит решить систему линейных уравнений; решение системы линейных

уравнений; способы решения;

• Соотношения между коэффициентом системы (при исследовании решения

системы);

При каком значении m пара (а; 3а) является решением системы:

4x – my= – 10

x – 3y=2.

3. Проверка решения задач на доске.

II. Изучение нового материала

1. Объяснение учителя.

Сегодня мы познакомимся еще с одним из способов решения системы линейных уравнений с двумя переменными – метод Крамера или метод определителей. По коэффициентам системы составляют три определителя.

а₁х+b₁y=c₁

а₂х+b₂y=c₂

1. Если ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое

находится по формуле: x = ; у = (формулы Крамера);

1. Если ∆ = 0, ∆≠ 0 или ∆ = 0, ∆≠ 0, то система не имеет решений;

2. Если ∆ = ∆= ∆=0, то система имеет бесконечное множество

решений.

Примечание: если на систему не наложить условий а₁² + b₁² ≠ 0, то из

а₂² + b₂² ≠ 0

указанных условий может и не следовать, что данная система не имеет решений.

2. Примеры: Пример: 0x + 0y = 1

0x + 0y = – 2.

Все три определителя равны 0, но система не имеет решений.

а) Найти все значения параметра а, при которых система имеет единственное

решение.

(а + 1)x – y = a

(a – 3)x + ay = – 9. Ответ: a ≠ 1, a ≠ – 3

б) При каких значениях параметра b система не имеет решений:

bx – 3y = 12

2x – 4y = 10. Ответ: b = 1,5

в) Найти все значения параметра m, при которых система имеет бесконечно

много решений:

3x + my = 1,5

2x + y = 1 Ответ: m = 1,5

3. Самостоятельно: (индивидуальная проверка учителем).

а) решить предложенные в начале урока разобранным методом.

б)

• Найти все значения параметра а, при которых система не имеет решений:

х + аy = 1

х – 3аy = 2а + 3.

• При каких значениях параметра система имеет бесконечно много решений:

3x + by = 3

bx + 3y = 3

(разбор задания: образец решения оформлен на внутренней доске).

III. Итог занятия и задания для самоконтроля:

А: 1) При каком значении а система 3x + y = – 4 решений не имеет?

x – аy = 8

а) 2; б) 0,5; в) –; г) – 3.

2) При каком значении k система kx + 4y = 4 имеет одно решение?

3x + y = 1

а) k ≠ – 12; б) k ≠ ; в) k ≠ –; г) k ≠ 12.

3) При каких значениях а система – x + ay = a имеет бесконечно

много решений? (2a + 1)x + 5ay = 5a

а) – 3; б) 3; в) 0; г) – 2.

2) Занятие по теме:

«Решение квадратных уравнений, содержащих параметр»

Цель занятия:

• Формировать прочные навыки решения квадратных уравнений, содержащих

параметр;

• Создать условия для самостоятельной творческой работы учащихся;

• Развивать исследователь скую деятельность учащихся.

Тип занятия: обучающий.

Ход занятия:

1. Проверка задания для самоконтроля (образец решения на доске учащиеся

готовят заранее).

А: 1) При каких значениях параметра с уравнение 5x² – 4x + c = 0

а) имеет действительные различные корни; (c )

б) имеет один корень; (c = )

в) не имеет действительных корней; (c )

(расcмотреть различные способы решения)

2) Найти наибольшее целое значение k, при котором уравнение x² + x – k = 0

не имеет действительных корней. (k = – 1)

3) При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но

противоположны по знаку? 2x² – (5m – 3)x – 1 = 0 (m = )

Б: 1) При каких значениях m оба корня уравнения равны 0?

x² – (3m² + 4m)x +9m² – 16 = 0 (m = –)

2) При каком значении а уравнение (a + 2)x² + 2(a + 2)x + 2 = 0

имеет один корень? (a = 0)

II. Работа над усвоением темы:

(решение задач по группам – обсуждение, один из группы оформляет

решение на доске, объясняет формулировку задачи)

А: а) При каких положительных значениях параметра а прямая y = ax – 5

касается кривой y = 3x² – 4x – 2? (a = 2)

б) При каких значениях b графики функций y = x² + 6x +7 и y = 2x + b

имеют общие точки? ( [ 3; + ∞) )

Б: а) При каких а уравнение имеет более одного корня?

(a – 3)x² – 2ax + (3a – 6) = 0 (; 3]

б) Решить уравнение относительно х:

mx² – 6x + 1 = 0.

при m = 0: x =

при m ≠ 0: если m x =

если m = 9: x =

если m = 9: Ø.

В: а) Найти при каких значениях параметра а, уравнение x² – 4x + a – 1 = 1

имеет:

1) два различных корня;

2) два положительных корня;

3) два корня, каждый из которых больше 1.

1) (– ∞; 5); 2) (1; 5); 3) (4; 5)

Оформление всех задач в тетради.

III. Итог занятия и задания для самоконтроля:

(если время остается, то учащиеся начинают выполнять задания).

1) Решить уравнение относительно х: 12x² +7ax +a² = 0

при a = 0: x = 0

при a ≠ 0: x₁ = –

x₂ = –

2) При каких значениях b графики функций y = x² – 4x +2 и y = – 2x + b

имееют общие точки? [1; + ∞)

3) При каком значении а прямая y = 6x +a касается графика функции y = x²?

(a = – 9)

4)* При каких значениях а уравнение a(a +3)x² + (2a +6)x – 9 =0 имеет не

более одного корня? [– 3; – 0,3] {0}

3) Семинар по теме:

“Решение квадратных уравнений и квадратных неравенств с параметром»

Цель:

• Обобщить и систематизировать полученные знания по изученному

материалу;

• Использовать полученные навыки для решения задач с параметрами;

• Развивать четкую математическую речь в ходе объяснения решения задачи,

используя специальные термины, формулировки.

Тип занятия: закрепление знаний и умений.

На первом занятии по данной теме учащимся предлагается список задач II блока раздела курса «Решение квадратных уравнений и квадратных неравенств с параметром», которые они решают постепенно, изучив необходимый материал. В ходе решения ученики могут обращаться за консультациями друг к другу, к учителю.

Задачи: ( демонстрационные задачи II блока)

I. Квадратные уравнения с параметром:

а) решить уравнение относительно х: a(a + 1)x² – x – a(a – 1) = 0

б) при каких а уравнение имеет единственное решение:

ax² + x – 5 = 0; (a – 3)x² + (6 – 2a)x + 1 = 0

в) найти наименьшее целое а, при котором уравнение имеет два различных

корня: x² + (2a + 3)x +a² – a + 5 = 0

г) при каком значении а прямая y = 4x имеет только одну общую точку с

графиком функции y = x² + a?

II. Соотношения между корнями квадратных уравнений с параметром.

а) при каких а сумма квадратов корней уравнения x² – 9x + a = 0 равна 21?

б) при каких а разность корней уравнения x² + 2ax – 8 = 0 равна 6?

в) при каких а сумма квадратов двух различных корней уравнения

ax² + 6x – 6 = 0 больше 3?

г) при каком а уравнения x² + ax + 2 = 0 и x² + 2x + a = 0 имеют общий корень?

III. Квадратные неравенства:

а) решить неравенство: x² + 2ax + 4 0

б) при каких а неравенство выполняется для всех значений х?

(a –3)x² – 2ax + 3a – 6 0

в) при каких а неравенство выполняется только для одного значения х?

(a – 1)x² + (2a + 2)x + 2a – 1 0

г) при каких а множеством решений неравенства x² – 2ax – 3 0

будет отрезок длины 4?

IV. Взаимное расположение корней квадратного уравнения:

а) при каких m уравнение имеет корни разных знаков?

mx² + (3m –2)x + m – 3 = 0

б) при каких m уравнение имеет два различных корня одного знака?

(m + 1)x² – 2mx + 2m – 2 = 0

в) при каких m корни уравнения mx² – (2m + 1)x + 3m – 1 = 0 больше 1?

г) при каких m корни уравнения (2m – 2)x² + (m + 1)x +1 = 0 удовлетворяют

условию – 1 x ?