Двойные интегралы и его свойства.

Тема урока: Двойные интегралы и его свойства.

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Образовательная: расширить понятия интеграла, ознакомить студентов с двойными интегралами и методами их решения.

Воспитательная :

Воспитать терпение, усидчивость, внимательность.

Развивающая:

Развить механическую память и абстрактное мышление.

Методическая цель:

Ознакомить педагогов с методикой проведения лекции с использованием опорного конспекта.

I.Организационный момент. Приветствие.

Проверка готовности группы к уроку.

II.Опрос домашнего задания.

Фронтальная беседа:

Скажите, пожалуйста, чему равна производная постоянной?

Производная постоянной равна нулю.

Скажите, пожалуйста , чему равна производная суммы?

Производная суммы равна сумме производных.

Скажите, пожалуйста, чему равна производная произведения?

Производная произведения равна сумме производных.

Скажите, пожалуйста, чему равна производная частного случая?

Производная частного случая находится по формуле :

Скажите, пожалуйста, чему равна производная степенной функции?

Производная степенной функции находится по формуле

Скажите, пожалуйста, чему равна производная показательной функции?

.

III.Объяснение новой темы

1.Актуализация опорных знаний.

Скажите, пожалуйста, помните ли Вы такое понятие, как первообразная?

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Как обозначается неопределенный интеграл?

Таким образом, по определению

Скажите, пожалуйста, что можно сделать с постоянным множителем?

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла .

Скажите, пожалуйста, чему равен интеграл от суммы?

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от этих функции.

.

Запишите, пожалуйста, формулу Ньютона-Лейбница?

.

2.Изложение нового материала.

а) Лекция.

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу. Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей. Имеющих площади , ,…., произвольным образом на диаметры d₁,d₂,…..,d_n

(диаметром области называется наибольшее расстояний между двумя точками границы этой области).

Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Р_k(ξ_k;η_k) ; и умножим значение функции в точке Р_k на площадь этой области.

Интегральной суммой для f(x,y) по области D называется сумма вида

, ) +……+ .

Если при мах d_k 0 интегральная сумма имеет определенный конечный предел I = не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек Р_k в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается следующим образом

I=

Если f(x,y) в области D то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного с верху поверхностью z=f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью образующими, параллельными оси OZ, снизу областью D плоскостью хОу.

Основные свойства двойного интеграла.

1⁰ .

2⁰

3⁰ Если область интегрирования D разбита на две области D₁ и D₂ то

.

4⁰ Оценка область интегрирования если m , где S-площадь области D, а m и M соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x,y) в области D.

Правила вычисления двойных интегралов.

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=b (ab), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y= и y= , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис.1)

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл в котором х считается постоянной.

Y x= x=

Y Рис 1 y=d

y= . Рис 2.

y= y=c

0 x=a x=b x 0 x

1. Область интегрирования D ограниченна снизу и сверху прямыми у=с и у=d (cd), а слева и справа - непрерывными кривыми x= и x= , каждая из которых вычисляется по формуле

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл в котором y считается постоянной.

Правые части указанных формул называются двукратными (или повторными) интегралами.

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

б) работа по опорному конспекту

обобщение нового материала с использованием опорного конспекта

(приложение)

IV.Закрепление

1. Объяснение данной темы и методы решения на примере.

Пример 1. x=2; x=6; у=1; у=4.

Решим данный пример двумя способами.

1. =

=

.

1. =

.

2.Самостоятельная работа студентов у доски и на месте.

Пример 2. x=2; x=6; у=1; у=4.

1. =

=

.

1. =

.

Пример 3. x=2; x=6; у=1; у=4.

1. =

=

.

1. =

.

.

Пример 4. x=0; x=1; у=0; у=2.

1. =

=

.

1. =

.

.

V. Подведение итогов урока.

Выставление и комментирование оценок.

Отзыв на открытый урок по математике

преподавателя высшей квалификационной категории

ГБ ПОУ «БЭРТТ»

Рысбаева Б.С.

Рысбаев Бахыт Серикбаевич проводил открытый урок в группе П-25 28.02.2014 г. по теме: «Двойные интегралы и его свойства».

Урок прошел на высоком методическом уровне. Цели были определены и доступны для учащихся. Содержание урока соответствовало уровню развития учащихся. Все этапы урока последовательны и логически связаны. Структура урока соответствует данному типу урока. Обеспечивалась целостность и завершенность урока. Соблюдался принцип систематичности и последовательности формирования знаний, умений, навыков. Использование на уроке наглядного материала способствовало развитию обучения, сознательности и активности учащихся, их познавательной деятельности, раскрытию связи теории с практикой.

В течение урока были использованы следующие методы обучения: диалог учитель-ученик, актуализация ранее изученного материала, самостоятельная работа, создавалась проблемная ситуация. Эти методы обучения обеспечивали поисковый и творческий характер познавательной деятельности учащихся.

На каждом этапе осуществлялась постановка учебных задач, сочетались разные формы работы на уроке: индивидуальная, групповая, парная. Осуществлялся контроль учителя, самоконтроль и самооценка результатов работы. Были подведены итоги урока. Осуществлялось чередование разных видов деятельности обучающихся.

Урок был организован с использованием информационно-коммуникативных технологий обучения. Был правильно определен объем учебного материала на уроке, умелое распределение времени, характер обучения был демократичным, объективным. На уроке царила доброжелательная атмосфера, и учащиеся чувствовали себя достаточно свободно.

Речь учителя была грамотной, доступной, содержательной.

Учащиеся были активны и организованны на разных этапах урока, были доброжелательны к учителю, показали умения творческого применения знаний, умений и навыков самостоятельно делать выводы.

Председатель ПЦК ________________________________Ниязова А.В.