Диофантовы уравнения

Диофантовы уравнения

• Необходимое условие разрешимости линейного уравнения : если число не делится на НОД(, то уравнение в целых числах не имеет решений.

• Если НОД(=, то уравнению удовлетворяют любые и .

Универсальный способ решения уравнения .

1. Находим частное решение уравнения в целых числах с взаимно простыми коэффициентами и по формулам: , где предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби , в которую раскладывается дробь .

2. Формулы и с целым параметром задают общее решение этого уравнения.

1.Несколько лет назад были в ходу монеты по 3 и 5 копеек. Сколькими способами можно набрать ими сумму в 10 рублей?

2.Три рыбака вечером наловили рыбы и легли спать. Первый, проснувшись утром, решил не будить остальных. Он разделил рыбу из садка поровну, но одна рыба оказалась лишней; он выбросил ее в воду, забрал третью часть улова и уехал домой. Через час встал второй. Думая, что он проснулся первым, и не желая будить остальных, проделал то же самое, что и первый: выкинул в воду лишнюю рыбу, взял третью часть от оставшегося улова и уехал. Еще через час все это повторил третий рыбак, тоже считая, что он встал первым. Каков был улов?

3.Найти все целые корни уравнения , не превосходящие по модулю 100.

4.Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, либо 80кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 тонны зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее количество мешков при этом может понадобиться?

5. Требуется разлить 20,5л сока в банки по 0,7л и 0,9л так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Ответ:

6. Для перевозки большого количества контейнеров по 170кг и по 190кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полностью?

Линейные системы

7. Школьник написал три различных натуральных числа. Сложил большее со средним- получилось 1996, а когда из среднего вычел меньшее, то получил 996. Что это за числа?

8. На станцию привезли 420т угля в вагонах вместимостью по 15т, 20т и по 25т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

9. В классе 35 учеников. Они собрали библиотеку для младших школьников. Для этого каждый принес от 4 до 6 книг- получилось 180 книг. Каких учеников в классе больше- тех, кто принес по 4, или тех, кто принес по 6 книг. Укажите одно из распределений учеников по количеству принесенных книг.

Ответ: 1) тех, кто принес 6 книг больше, чем тех, кто принес 4 книги; 2) всего 15 решений.

10. Можно ли набрать сумму в 1000 рублей с помощью купюр достоинством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей таким образом, чтобы было использовано ровно 40 купюр?

11. Каждым выстрелом по мишени стрелок выбивал 8, 9 или 10 очков. Он произвел более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько он сделал выстрелов и с каким результатом?

12. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по 1 монете, за каждые 2 горлицы- тоже по 1 монете, а за каждого голубя по 2. Сколько куплено птиц каждого вида? Ответ: 9, 10, 11.

Нелинейные уравнения

Решениями уравнения являются пифагоровы тройки: .

• , где  и - натуральные параметры.

• Если - нечетное число, то и .

13.Решите уравнение в целых числах.

14. Корни уравнения - целые числа. Найдите их.

15. Найти все целые числа, которые удовлетворяют уравнению . Ответ: (-1;1), (-3;0).

16. Для каких целых чисел выполняется равенство: ?

17. Сколько решений уравнения существует в натуральных числах?

18. Длины сторон (в см) прямоугольного треугольника- целые числа. Его площадь (в см²) и периметр (в см) выражаются одним и тем же числом. Найдите стороны треугольника.

Нелинейные системы

19. Решите в натуральных числах систему уравнений: .

20. Решите в целых числах систему уравнений: .

21. Решите в целых числах систему уравнений.

22. Найдите четыре таких различных целых числа, чтобы сумма любых двух из них была бы квадратом целого числа