Числа Фибоначчи. Золотое сечение

Цель урока: познакомить учащихся с числами Фибоначчи; закономерностями, историческими фактами, связанными с последовательностью этих чисел, ввести понятие "Золотого сечения".

               Задачи урока:

- Развивать представление об отношениях и пропорциях, познавательный интерес к математике, логическое мышление.

- Активизировать познавательную активность.

- Расширять кругозор учащихся.

               Этап урока: Мотивация, актуализация, построение и реализация проекта выхода из затруднений, первичное закрепление с проговариванием во внешней речи, самостоятельная работа с самопроверкой  по эталону, рефлексия учебной деятельности на уроке.

               Виды учебной деятельности:

- уметь находить числа Фибоначчи в закономерностях природы, используя понятия «пропорция» и «отношения»;

- решать задачи, анализируя и осмысливая её текст;

- извлекать необходимую математическую информацию, строить логическую цепочку рассуждений.

Планируемые образовательные результаты:

- представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития;

- умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме;

- развитие представления об отношениях и пропорциях, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и  символику.

               Фрагмент урока

I. Орг.  момент. Приветствие.

Эпиграф:

"Есть в математике нечто, вызывающее восторг"

Ф. Хаусдорф

II. Мотивация к учебной деятельности  (работа в парах по карточкам) – смотрите документ

Постановка проблемы. Что вы увидели? Как вы считаете, почему отношения некоторых чисел или величин равны одному и тому же числу, приблизительно 0,6. Есть ли в окружающем нас мире величины, отношения которых так же равно этому числу?

III. Актуализация.

- Как вы считаете, что сегодня на уроке мы  с вами будем делать?

- Какие знания для этого нам понадобятся?

IV. Выявление места и причины затруднения.

Где вы можете допустить ошибки?

- При вычислении значения отношения;

- При нахождении неизвестного члена пропорции;

- При вычислении процентов.

Поэтому повторим:

 (устно)

- Как найти  отношение двух чисел или двух величин?

- Чему равны отношения чисел 8 и 4; 12 и 3;  66 и 11; 82,4 и 2

- Что называется пропорцией?

- Составьте пропорции из чисел 2, 4,  6, 12;   3, 6, 9, 18.

- Сформулируйте основное свойство пропорции:

- Найдите 50% от 84; 38% от 200; 62% от 1000; 38% от 100.

V. Этап построения и реализации проекта выхода из затруднения

Задача о кроликах.

 «Некто поместил пару кроликов в некотором месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство кролики приносят со второго месяца своего рождения. Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»

Решая эту задачу, получаются следующие результат: в начале 1 месяца была 1 пара, в начале 2 месяца – 2 пары (зрелая и молодая), в начале 3 месяца – 3 пары (две зрелые и одна молодая) и так далее (рис. 2). Для решения составим таблицу:

Связь с жизнью.

Кролики действительно отличаются своей плодовитостью. Не будь смерти, потомство одной пары достаточно быстро заполнило бы всю Землю. В 1859 году в Австралию из Англии было привезено 24 кролика, которых там никогда не было. В отсутствии хищников, кролики расплодились быстрыми темпами. Полчища кроликов наводнили Австралию, стали бедствием для австралийцев, так как уничтожали многочисленные посевы. Были  затрачены огромные средства на борьбу с ними, но кролики остаются в Австралии проблемой и поныне.

Промежуточное подведение итогов.

У вас всегда, при нахождении значений отношений получается число, приближенно равное 1,66. Это число называется числом ФИ, а открыл его Леонардо Пизанский, второе его имя Фибоначчи

Так Фибоначчи обнаружил последовательность чисел, где последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Найдите отношение каждого последующего числа на предыдущий.

Какие числа у вас получились?

 (Историческая справка) – смотрите документ

Последовательность Фибоначчи, числа Фибоначчи

Наибольший интерес представляет для нас сочинение "Kнига абака" ("Liber Abaci"). Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

В "Liber Abaci" Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (далее до бесконечности).

На стр. 123- 124 данной рукописи, Фибоначчи поместил задачу о кроликах. Последовательность Фибоначчи имеет весьма любопытные особенности, не последняя из которых - почти постоянная взаимосвязь между числами.

Сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Например: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 и т.д.

Отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырех чисел). Например: 1: 1 = 1; 1: 2 = 0,5; 2: 3 = 0,67; 3: 5 = 0,6; 5: 8 = 0,625; 8: 13 = 0,615; 13: 21 = 0,619 и т.д. Обратите внимание, как значение соотношений колеблется вокруг величины 0,618, причем размах флуктуаций постепенно сужается; а также на величины: 1,00; 0,5; 0,67.

Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618). Например: 13: 8 = 1,625; 21: 13 = 1,615; 34: 21 = 1,619. Чем выше числа, тем более они приближаются к величине 0,618 и 1,618.

Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предшествующему через одно - 2,618. Например: 13: 34 = 0,382; 34: 13 = 2,615.

Последовательность Фибоначчи содержит и другие любопытные соотношения, или коэффициент, но те, которые мы только что привели - самые важные и известные. Как мы уже подчеркивали выше, на самом деле Фибоначчи не является первооткрывателем своей последовательности. Дело в том, что коэффициент 1,618 или 0,618 был известен еще древнегреческим и древнеегипетским математикам, которые называли его "золотым коэффициентом" или "золотым сечением". Его следы мы находим в музыке, изобразительном искусстве, архитектуре и биологии. Греки использовали принцип "золотого сечения" при строительстве Парфенона, египтяне - Великой пирамиды в Гизе. Свойства "золотого коэффициента" были хорошо известны Пифагору, Платону и Леонардо да Винчи.

Пропорции чисел Фибоначчи дают ориентиры не только возможных уровней отката, но и указывают возможную величину хода в случае продолжения тенденции. Если после хода рынок откатывается, а затем продолжает ход в том же направлении, то в типичном случае величина продолженного хода может составить 1.618.

(Видеоролик)

Практическая работа

         Рассмотрим отрезок АВ и разделим его в золотом отношении. (План построения на слайде)

Класс выполняет построение с помощью консультантов. (Работа индивидуально)

План построения:

1.Постройте прямой угол В.

2.На одной стороне угла от вершины  В отложите катет ВD

3.На второй стороне угла от вершины  В отложите катет ВА равный 2BD. Проведите гипотенузу АD.

3.Проведите окружность с центром в точке D и радиусом ВD. На гипотенузе отметьте точку Е

4.Проведите окружность с центром в точке А и радиусом АЕ. На катете АВ отметьте точку С

5. С - точка золотого сечения.

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

          Определение золотого сечения: целое относится к его большей части так же, как большая часть относится к меньшей части. (Запишите в тетрадь, проговорите его друг - другу). Проговорите определение классу.

Точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка.

Деление отрезка в "Золотом отношении" – смотрите документ

VII. Рефлексия

Рефлексия учащегося

Ответьте развернуто на следующие вопросы:

1. Понравился или не понравился вам урок?

2. Что в уроке вам особенно понравилось и запомнилось?

3. Что на уроке у вас вызвало затруднение?

4. Какие новые знания вы сегодня получили?

5. Пригодятся ли вам эти знания в дальнейшем?

6. Где пригодятся вам знания, полученные на уроке?

VIII. Домашнее задание