Арифметические операции​ в различных системах счисления

Арифметические операции​ в различных системах счисления​

Содержание:

• Двоичное кодирование в ПК ​
• Что такое система счисления? ​
• Непозиционные системы счисления ​
• Позиционные системы счисления ​
• Перевод в 10-тичную СС ​
• Перевод из 10-тичной СС ​

• Вывод

Двоичное кодирование в компьютере ​

Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1 . Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами , или двоичным кодом .​

С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. ​

Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.​

0 – отсутствие электрического сигнала; ​

1 – наличие электрического сигнала .​

С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование.​ Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.​ Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.​ ​ Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Система счисления

Почему мы используем цифры от 0 до 9? А как можно считать еще? Оказывается, существует множество вариантов! И это зависит от такого понятия, как система счисления . ​

​

Система счисления (СС) — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Виды систем счисления:

ПОЗИЦИОННЫЕ

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

В позиционных системах счисления величина , обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе ( позиции ). ​

В непозиционных системах счисления величина , которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. ​

211

XXI

Непозиционные системы счисления ​

Ярким примером фактически непозиционной системы счисления является римская , в которой в качестве цифр используются латинские буквы:​

I обозначает 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M -1000.​

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.​

Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.​

Пример: число 1789. Одна тысяча M, семь сотен DCC, восемьдесят LXXX, девять IX. Запишем их вместе: MDCCLXXXIX.​

MDCCLXXXIX=1000+(500+100+100)+(50+10+10+10)+(10-1)=1789 ​

Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них крайне неудобно. ​

Первые позиционные системы счисления ​

Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная . ​

Следующей возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Возможно, что она возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем. ​

На ее широкое использование в прошлом указывает сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов. ​

Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. ​

Английский фунт состоит из 12 шиллингов.​

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная , т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! ​ В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.​ В настоящее время наиболее распространены десятичная , двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления ​

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.​

Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека. ​

Наиболее распространённая система счисления в мире. ​

Для записи чисел используются символы 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления ​

Здесь только 2 цифры – это 0 и 1. Основание двоичной системы - число 2.

Цифра, которая находится с самого края справа, указывает количество единиц, вторая цифра -

количество двоек, далее - количество четверок и так далее.

Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.

С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив

это число в виде последовательности нулей и единиц.

Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Алфавит двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную

Чтобы перевести целое число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную , нужно справа налево, начиная с 0, расставить разряды, потом каждую цифру умножить на основание системы счисления из которой переводим в степени этого разряда.

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:​

32110 — это число 321 в десятичной системе счисления; ​

1010000012 — то же число, но в двоичной системе. ​

Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную ​

Чтобы перевести целое число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную , нужно справа налево, начиная с 0, расставить разряды, потом каждую цифру умножить на основание системы счисления из которой переводим в степени этого разряда.​

Например, переведем число 110012 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления.​

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую ​

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.​

Переведем десятичное число 2010 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002. ​

Вывод

Когда были придуманы компьютеры, люди столкнулись с тем, что очень сложно записывать в компьютер различные числа десятичного формата, как раз привычного нам. Потому, что в системе электроники довольно сложно создать автомат, который мог бы хранить десять различных уровней напряжения. А только так можно хранить в памяти информацию. Гораздо проще в электронике создать такое устройство, которое может хранить в себе два напряжения - либо напряжение есть, либо его нет. То есть, иметь два состояния. Другими словами это число 0, или число 1. Поэтому нужно было сделать так, чтобы привычные нам числа в десятичной системе (745, или 12326348123) хранились в памяти компьютера в последовательности нулей и единиц. Если представить какое либо десятичное число в таком варианте, имея достаточное количество устройств, позволяющих хранить в себе два состояния (0 - нет напряжения и 1 - есть напряжение) можно было бы записать любое число.

Еще шестнадцатеричная система (цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F) счисления используется в программировании и компьютерной документации, так как в компьютерах минимальной единицей памяти являтся 8-битный байт, и его значения удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

Литература

Что такое арифметические операции?

https://studfiles.net/preview/2621255/

https://cyberpedia.su/6x9d64.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_счисления