Движение точки по окружности

В данной теме речь пойдёт о равномерном движении точки по окружности.

Ранее говорилось, что механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Движение тела может быть прямолинейным, то есть когда траекторией движения является прямая линия. А может быть и криволинейным, когда траекторией движения является кривая линия.

Самым простым видом криволинейного движения является движение тела по окружности. Такой вид движения довольно часто встречается в повседневной жизни. К примеру, это движение Земли вокруг своей оси или вокруг Солнца.

Кроме этого существуют ещё сотни примеров: вращение колеса автомобиля, электронов вокруг ядра атома, движение стрелок часов и многое-многое другое.

В первую очередь вспомним, что называется равномерным движением по окружности. При прямолинейном движении тело совершает одинаковые перемещения за равные промежутки времени. В случае с движением тела по окружности, равномерным движением называется такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги или тело поворачивается на одинаковые углы за одинаковые промежутки времени.

Известно, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения. Следовательно, при движении тела по окружности, его скорость будет направлена по касательной к этой окружности в данной точке.

В том, что скорость точки при криволинейном движении действительно направлена по касательной, убеждает, например, наблюдение за работой круглопильного станка при распиловке какого-либо металлического изделия.

При этом, модуль скорости, так же, как и модуль ускорения остаётся постоянным, в то время как их направления постоянно меняются. Из этого можно сделать вывод, что любое криволинейное движение является ускоренным, даже если модуль скорости остаётся постоянным. Ведь скорость — величина векторная. А для векторных величин модуль и направление одинаково важны.

Рассмотрим более подробно движении тела по кривой. На рисунке представлена некоторая криволинейная траектория.

Допустим, что тело движется по ней из точки A в точку B. При этом пройденный телом путь — это дуга AB, а его перемещение — это вектор AB. Нельзя считать, что скорость тела во время движения направлена вдоль вектора перемещения.

Проведем между точками A и B ряд хорд, и представим себе, что движение тела происходит именно по этим хордам. На каждой из них тело движется прямолинейно и вектор скорости направлен вдоль хорды.

Теперь сделаем эти прямолинейные участки (хорды) более короткими. По-прежнему на каждом из них вектор скорости направлен вдоль хорды. При этом видно, что эта ломаная линия уже более похожа на плавную кривую.

Если продолжить уменьшать длину прямолинейных участков, то эти участки стянутся в точки и ломаная линия превратится в плавную кривую. Скорость же в каждой точке этой кривой в физике называют линейной скоростью и определяют ка отношение длины дуги, которую тело описало за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Поскольку направление ускорения постоянно меняется, имеет смысл рассматривать мгновенное ускорение. Точно так же, как и в случае с мгновенной скоростью, берутся все меньшие и меньшие промежутки времени так, чтобы при ∆t, пройденный путь за этот промежуток времени можно будет считать прямой линией. Тогда можем записать, что мгновенное ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при ∆t → 0.

При описании движения тела по окружности можно пользоваться вектором перемещения, как и при описании прямолинейного движения. Но часто более удобным оказывается характеризовать изменение положения при движении по окружности другой величиной — углом поворота.

Рассмотрим некоторое тело, которое движется по окружности радиусом R. Проведем из центра окружности радиус к какой-нибудь точке тела А и будем следить не только за самим телом, но и за радиусом, проведенным к точке А.

Видно, что, по мере того как тело движется, радиус поворачивается. Если, например, тело за некоторый промежуток времени переместилось из точки А в точку B, то за это же время радиус повернулся на угол j. Этот угол называется углом поворота. Единицей измерения угла поворота является радиан (рад).

Скорость тела, в обеих точках, направлена по касательной, а модуль скорости тела в точке А будет равен модулю скорости в точке B.

Найдем вектор изменения скорости, воспользовавшись законом сложения скоростей.

Рассмотрим теперь два треугольника — один, образованный двумя радиусами и вектором перемещения, а второй — скоростями тела в точках А и B и вектором изменения скорости.

Эти треугольники подобны, т.к. являются равнобедренными и имеют одинаковый угол при вершине.

Рассматриваем бесконечно малый промежуток времени. В этом случае, угол поворота также будет стремиться к нулю, а значит и угол между скоростью в точке A и скоростью в точке B тоже будет стремиться к нулю. Поскольку сумма углов треугольника равна 180º, и в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, можно сделать вывод, что угол между вектором скорости и вектором изменения скорости составляет 90º. Это очень важный вывод, так как вектор изменения скорости указывает направление вектора ускорения. Поскольку радиус всегда перпендикулярен касательной, то ускорение направлено по радиусу, то есть стремиться к центру. Именно поэтому, ускорение при криволинейном движении называется центростремительным.

Теперь разберёмся с модулем ускорения. Используем те же два треугольника, только заменим вектора скорости, на их модули. Поскольку треугольники подобны, можно записать

В завершении, вспомним несколько важных физических величин, описывающих криволинейное движение. В первую очередь, это, конечно же, период обращения. Периодом обращения называется промежуток времени за который тело совершает один полный оборот по окружности.

Например, период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Напомним, что единицей измерения периода в системе СИ, является секунда.

Существует также величина, обратная периоду, которая называется частотой. Эта величина равна числу оборотов в единицу времени. Очевидно, что период обращения и частота обратно пропорциональны. Основная единица измерения частоты — это герц (Гц), хотя часто можно встретить и с^–1.

Еще одной важной характеристикой движения по окружности является угловая скорость. Под угловой скоростью точки, равномерно движущейся по окружности, понимают отношение угла поворота радиуса, проведенного к точке, к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот. Таким образом, угловая скорость измеряется в радианах на секунду.

Полный оборот — это поворот на угол, равный 2П. Тогда, угловая скорость будет равна 2П/T.

Длина окружности равна 2R. Поэтому, линейная скорость тела, при его движении по окружности, будет определяться отношением длины окружности к периоду обращения.

Cравним две формулы для определения линейной и угловой скорости. Как видно из записей, линейная скорость тела больше угловой скорости в R раз. Иными словами, линейная скорость равна произведению угловой скорости и радиуса окружности.

Это вполне логично: чем дальше точка находится от центра, вокруг которого она вращается, тем больше должна быть её линейная скорость, чтобы за одинаковое время совершить поворот на одинаковый угол.

Вернемся к центростремительному ускорению и получим еще одну формулу для его определения с учетом выражения, связывающей линейную и угловую скорость обращения. Тогда, центростремительное ускорение можно найти по формуле

Теперь поговорим о поступательном и вращательном движении твердых тел. Твердое тело (или абсолютно твердое тело) — это тело, изменением размеров и формы которого можно пренебречь.

Полное описание движения тела является достаточно сложной задачей, если не пользоваться идеализированными моделями такого движения. Одна из таких моделей — это поступательное движение. То есть, это такое движение, при котором каждая точка тела двигается одинаково. Например, поступательным движением можно считать движение поезда на прямых участках или же движение колеса обозрения.

Другой тип движения — это вращательное движение.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела двигаются по окружности. При этом, центры этих окружностей лежат на одной прямой, которая называется осью вращения. Один из самых очевидных примеров такого движения — это вращение Земли вокруг своей оси. Точки Земли двигаются по окружности, причем, вокруг определенной оси. Основные характеристики вращательного движения — это угловая скорость, период и частота.

Вообще, любое движение абсолютно твердого тела можно представить, как сумму поступательного и вращательного движений. В качестве примера можно снова привести движение Земли. Как вы знаете, Земля вращается вокруг Солнца. Но само Солнце двигается по направлению к звезде Вега. В итоге, в системе отсчета, связанной с Вегой, Земля совершает витки по спирали. Таким образом, движение земли в космическом пространстве можно представить, как сумму движения Земли вокруг Солнца и движения Солнца к Веге. Хотя необходимо отметить, что в данном примере, упростили движение Солнца, поскольку в действительности оно, конечно, двигается не по прямой, а по определенной орбите вокруг центра нашей Галактики.

Основные выводы:

Криволинейное движение всегда является ускоренным, так как направление вектора скорости постоянно меняется, даже если её модуль остается постоянным.

Ускорение при движении по окружности направленно к её центру и поэтому называется центростремительным. Повторили некоторые важные физические величины, описывающие криволинейное движение. А также поговорили о движении твердых тел.