Перпендикуляр к прямой

Рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой. Возьмём прямую а и некоторую точку О, которая не лежит на этой прямой. Соединим точку О с точкой В, которая лежит на прямой а.

Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки В к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны. Точку В называют основанием перпендикуляра.

Теорема:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра.

Пусть точка А не лежит на прямой p. Возьмём на этой прямой точку О и проведём луч ОA. Затем от луча ОB отложим угол BОK, равный углу АОВ. На луче ОK отложим отрезок ОС, равный отрезку ОA.

Пусть точка D - точка пересечения отрезка AС и прямой p. ∆ AOD=∆ COD по первому признаку, так как сторона ОD у них общая, ∠AОD=∠COD и ОA=ОС. Следовательно, ∠СDO=∠ADO. А так как углы СDO и ADO являются смежными, то ∠СDO=∠ADO и равняется 90 градусов. Значит, отрезок AD перпендикулярен прямой p, то есть перпендикуляр существует.

2. Единственность перпендикуляра.

Предположим, что из точки А можно провести ещё один перпендикуляр АD₁ к прямой р. Пусть CD - луч, противоположный лучу АD, и АD=CD.

Треугольник ADD₁ равен треугольнику СDD₁ по первому признаку, так как сторона DD₁ у них общая, сторона АD=СD, ∠ADD₁=∠СDD₁. Следовательно, ∠AD₁D=∠СD₁D.

Так как по предположению ∠AD₁D=90 градусов, то и ∠СD₁D=90 градусов, то есть ∠АD₁С развёрнутый и лучи D₁А и D₁С составляют прямую. Таким образом, получили, что через две точки А и С проходят две прямые, а ранее мы говорили, что это невозможно. Следовательно наше предположение неверно, то есть из точки А к прямой р можно провести только один перпендикуляр. Теорема доказана.

Чтобы провести перпендикуляр из точки О к прямой а используют чертёжный угольник.

Пример.

Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найти градусную меру ∠NPM, если ∠NOP=35 градусов.

Рассмотрим треугольники MOP и NPO. У них сторона OР - общая, сторона МО=NP по условию задачи, а ∠MOP=∠NPO и их градусная мера равна 90 градусов, так как MO и NP - перпендикуляры.

Следовательно, ∆ MOP=∆ NPO по первому признаку равенства треугольников. Значит, у них соответственные стороны и углы равны. Тогда ∠NOP=∠MPO=35⁰.

∠NPO=∠NPM+∠MPO. Из этого равенства получаем, что ∠NPM=∠NPO-∠MPO.

Нам известно, что ∠NPO=90 градусов, так как NP - перпендикуляр, а ∠MPO=35 градусов.

Получаем, что ∠NPМ=90⁰-35⁰. То есть градусная мера искомого угла равна 55 градусов.