Сфера и шар

На этом уроке мы рассмотрим понятия сферы и шара. Дадим их определения. Назовем некоторые из элементов сферы и шара. А также узнаем, как находят объем шара и площадь сферы.

Итак, рассмотрим понятия сферы и шара. Нас окружают различные тела. Формы предметов окружающего мира очень разнообразны. Среди них встречаются так называемые «круглые тела». Особое место среди круглых тел занимает шар.

Итак, шар – это геометрическое тело. Форму, близкую к форме шара, имеют арбуз, апельсин, планеты. Некоторые архитектурные сооружения.

Декоративным растениям также придают форму шара.

Поверхность шара называют сферой. Можно сказать, что сфера – это как-бы оболочка или граница шара. Как окружность, есть граница круга, так и сфера – это граница шара. Представление о сфере дают полые круглые предметы, например, футбольный и теннисный мяч, мыльные пузыри или, ставший в наше время популярным видом отдыха, «аквазорбинг». Зорб дает представление о сфере.

Чтобы уяснить разницу между понятиями шар и сфера, давайте внимательно посмотрим на рисунок.

Перед вами изображены воздушный шар и бильярдный шар. Оба этих предмета называют шарами. Однако в первом случае мы имеем дело со сферой, а во втором с полноценным шаром со своим содержимым внутри.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой, также называется радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Понятно, что .

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Определение. Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Т.е. отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Рассмотрим чертеж.

Перед нами математическое изображение шара. Точка О – это центр шара. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Понятно, что шар радиуса r с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем r (включая саму точку О), и не содержит других точек.

Хотелось бы обратить внимание на то, что шар может быть получен путем вращения полукруга вокруг его диаметра. При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что .

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура.

Поэтому для сферы не подходит способ вычисления площади с помощью развертки.

Вопрос о том, что понимать под площадью сферы и как ее вычислять, мы будем подробно рассматривать в курсе стереометрии в одиннадцатом классе.

Сейчас только отметим, что для площади S сферы радиуса r получается формула: .

Если шар разрезать, то фигура, образованная на срезе, есть круг.

Сам же срез называют сечением. В свою очередь, сечение сферы плоскостью есть окружность.

Задача. Найдите объем шара и площадь сферы с радиусом  метра. Число .

Решение:

  (м³)

 (м²)

Ответ: , .

Немного из истории. Оба слова «шар» и «сфера» происходят от греческого слова «сфайра» – мяч, шар.

В древности сфера и шар были в большом почете.

Пифагорейцы учили о существовании десяти сфер Вселенной, по которым якобы двигаются небесные тела. Они утверждали, что расстояние этих тел друг от друга пропорциональны интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривали элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».

Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели понятия сферы и шара. Узнали, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. А шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Назвали некоторые из элементов сферы и шара. А также узнали, как находят объем шара и площадь сферы.