Конус

На этом уроке мы познакомимся с понятием конуса. Дадим определение конуса. Рассмотрим, какими элементами он обладает. А также разберемся, как находят объем, площадь боковой поверхности  и площадь полной поверхности конуса.

Итак, рассмотрим понятие конуса. Вокруг нас существует множество предметов, имеющих форму конуса. Вафельные рожки для мороженного имеют форму конуса, дорожный конус, шляпа ведьмочки для хэлоуина, колпак у Буратино, колпаки для дня рождения, некоторые архитектурные сооружения, декоративным растениям, придают форму конуса и многое другое.

Конус – это один из видов тел вращения. Итак, если взять прямоугольный треугольник, например, треугольник ABC и вращать его вокруг катета AB, то в результате получится тело, которое называется конусом.

Прямая AB называется осью конуса. А отрезок AB – его высотой.

При вращении катета AC образуется круг, он называется основанием конуса.

Иногда радиус этого круга называют радиусом конуса.

При вращении гипотенузы BC образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом B. Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса.

Отрезки, из которых она составлена, называются образующими конуса.

Точка B называется вершиной конуса.

Определение. Конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем конуса
, где r – радиус основания конуса, h – его высота.

На рисунке изображен конус, у которого радиус равен r, а образующая равна l. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

Давайте представим, что боковую поверхность конуса разрезали по образующей AB и развернули таким образом, что получился круговой сектор ABB’. Стороны AB и A’B которого являются двумя краями разреза боковой поверхности конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Обратите внимание, радиус сектора равен образующей конуса, т.е. l. А длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2πr.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.

Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса – равна , где α – градусная мера дуги сектора.

Длина дуги окружности с градусной мерой α и радиусом l равна пи эль альфа деленное на сто восемьдесят. С другой стороны, длина этой дуги равна два пи эр, т.е. . Отсюда, площадь боковой поверхности конуса
. Т.е. площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой: .

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Отсюда видим,
.

Задача. Радиус основы конуса  метра, высота  метра. Найдите площади боковой и полной поверхностей конуса.

Решение.

 – прямоугольный.

 (м)

 (м²)

 (м²)

Ответ: , .

Задача. Радиус основы конуса  см, высота  см. Найдите объем конуса, .

Решение.

 (см³)

Ответ: .

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом. В этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа древнегреческому философу Демокриту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Подведем итоги. На этом уроке мы познакомились с понятием конуса. Узнали, что конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью. Рассмотрели, какими элементами он обладает. А также разобрались, как находят объем, площадь боковой поверхности  и площадь полной поверхности конуса.