Меню
Видеоучебник

Пирамида

Урок 49. Геометрия 9 класс ФГОС

На этом уроке мы познакомимся с понятием пирамида. Дадим определение пирамиды. Рассмотрим, из каких элементов она состоит. Узнаем, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разберемся, как находят объем пирамиды.

Конспект урока "Пирамида"

На этом уроке мы познакомимся с понятием пирамиды. Дадим определение пирамиды. Рассмотрим, какими элементами она обладает. Узнаем, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разберемся, как находят объем пирамиды.

Мы с вами начали изучать многогранники. Напомню, что многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Теперь давайте рассмотрим понятие пирамиды. Пирамида – это один из видов многогранника. Можно привести много примеров пирамиды из реальной жизни. Наверняка каждый из вас в детстве собирал игрушечную пирамидку, на уроках истории вас знакомили со знаменитыми египетскими пирамидами, многие известные архитектурные строения имеют форму пирамиды. Это и башни Кремля, пирамида Лувра, станция метро в Мюнхене и так далее.

Итак, рассмотрим многоугольник  и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку P отрезками с вершинами многоугольника.  В итоге получим n треугольников: , , … , . Многогранник, составленный из n -угольника  и этих n треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды. Треугольники , , … , называются боковыми гранями пирамиды. Точка P – вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2…PAn – ее боковыми ребрами.

Пирамиду с вершиной P и основанием  называют n-угольной пирамидой и обозначают так: .

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Пирамида в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то пирамида называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной пирамидой. А если n-угольник, то n-угольной пирамидой.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

На рисунке изображена правильная пирамида. PE – одна из ее апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды.

1. В правильной -угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.

2. Из равенства боковых ребер пирамиды следует и равенство ее боковых граней.

Рассмотрим куб со стороной а и проведем его диагонали.

Обратите внимание, в результате куб окажется разбитым на 6 равных друг другу правильных пирамид с общей вершиной в точке пересечения диагоналей куба. У каждой из этих пирамид основанием является квадрат со стороной а, высота , а объем в 6 раз меньше объема куба, т.е. равен . Но в свою очередь,  можно расписать как   – ее высота. Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h равен .

Полагаясь на этот факт, можно доказать, что аналогичное утверждение справедливо и для произвольной пирамиды: .

Задача.  – правильная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности, если  см, а  см.

Решение: напомню, что площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Т.к. по условию задачи сказано, что FABCDE – правильная пирамида, то в ее основании лежит правильный пятиугольник и все ее боковые ребра равны между собой. Следовательно,

 см

 

 – высота, медиана и биссектриса.

 – прямоугольный.

 

 

 (см)

 

 (см2)

Ответ: .

Интересно знать! Пирамиды – величайшие строения мира, которые завораживают и привлекают внимание людей. О различных свойствах пирамиды слагают легенды. Существуют даже научно доказанные факты о волшебных свойствах пирамиды.

В древние времена к числу «семи чудес света» относилась и египетская Великая пирамида.

Она была построена примерно 4600 лет назад для фараона Хуфу (его еще называли Хеопсом) и стала крупнейшей из трех пирамид, которые до сих пор возвышаются в районе города Гиза. Для ее строительства потребовалось вытесать и доставить на место примерно 2 300 000 каменных блоков общим весом почти 6 миллионов тонн. Внутри пирамиды есть несколько проходов и камер. Каждая боковая грань пирамиды имеет форму треугольника, а основанием служит квадрат со стороной 230 метров. Высота пирамиды – 147 метров, что соответствует современному пятиэтажному зданию.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы познакомились с понятием пирамиды. Узнали, что многогранник, составленный из n-угольника A1A2…An и n треугольников, называется пирамидой. Рассмотрели, из каких элементов она состоит. Узнали, какую пирамиду называют правильной, и какими свойствами она обладает. А также разобрались, как находят объем пирамиды.

0
3232

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт

Вы смотрели