Вынужденные колебания. Резонанс

Данная тема посвящена вынужденным колебаниям и резонансу.

Ранее говорилось о колебательном движении и гармонических колебаниях. Гармоническими называются колебания, при которых смещение колеблющейся материальной точки происходит по закону синуса или косинуса.

Известно, что реальные колебания не происходят в точности по гармоническому закону. Ни один колебательный процесс в природе и технике не продолжается бесконечно долго, а имеет начало и конец во времени. А колебательный процесс, ограниченный во времени, не является гармоническим.

Но в природе встречаются колебательные процессы, протекающие весьма длительное время. Примером колебаний такого рода могут служить периодические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца. График зависимости «вырабатываемого» сердечной мышцей напряжения от времени называется электрокардиограммой. Как видно из рисунка, она очень мало похожа на синусоиду. То есть колебания биотоков являются негармоническими.

Однако, как показывают теоретические расчеты, любое периодическое колебание может быть математически представлено как сумма гармонических колебаний кратных частот, причем амплитуды гармоник этого ряда (ряда Фурье) с увеличением номера уменьшаются.

Также ранее рассматривались математический и пружинный маятники, колебания которых принимались за гармонические. Однако на самом деле, колебания маятников лишь близки к гармоническим, но не являются таковыми, так как тоже сопротивление воздуха и необратимые потери энергии на нагревание нити и пружины при их деформации приводят к тому, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается.

Колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается, называются затухающими.

Так как свободные колебания всегда затухают за то или иное время, то они не находят практического применения. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, чтобы действовать на колебательную систему внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые сама система не совершала бы.

Работа этой внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к ней извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил сопротивления.

Такие колебания, то есть колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями.

Основное отличие вынужденных колебаний от свободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия постоянно пополняется за счет работы вынуждающей силы.

Вначале, в процессе установления вынужденных колебаний, они носят сложный характер: происходит наложение свободных затухающих, а также вынужденных колебаний. И только после того, как свободные колебания прекратятся, останутся только вынужденные колебания.

Рассмотрим некоторые особенности вынужденных колебаний.

1) Внешнее воздействие навязывает системе свой закон колебаний: так, если значение внешней силы изменяется по закону синуса (или косинуса), то вынужденные колебания будут являться гармоническими. Обратите внимание на то, что между вынужденными колебаниями и колебаниями внешней силы существует разность фаз.

где j – разность фаз.

2) Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения вынуждающей силы.

3) Амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем больше амплитуда вынуждающей силы.

4) Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, она достигает максимального значения при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой, то есть с частотой свободных колебаний системы. При частоте вынуждающей силы, приближающейся к собственной частоте колебаний системы, амплитуда колебаний растет, а при больших частотах — уменьшается.

Явление резкого возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы, называется механическим резонансом.

Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется резонансной.

А график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты называется резонансной кривой.

Явление резонанса имеет огромное практическое значение, так как используется для усиления различных колебаний в технике.

Например, вынужденные колебания используют при работе виброустройств для уплотнения сыпучего основания под фундаменты и дороги, уплотнения бетона при заливке фундаментов. Также вибраторы применяются дли вибрационного погружения свай и труб, при виброукладке бетона, сортировке сыпучих материалов.

Но механический резонанс может вызывать и разрушение колебательной системы, если амплитуда вынужденных колебаний превысит определенные пределы.

Поэтому, например, двигатель в автомобиле устанавливается на специальных амортизаторах, в которых механическая энергия колебаний гасится и переходит в тепловую.

В зданиях вибрирующие установки (такие, как электродвигатели, дизельные установки) размещают на резиновых или металлических амортизаторах. Иначе резкое возрастание амплитуды колебаний при резонансе может вызвать разрушение конструкций.

Резонансные явления возможны и в других сооружениях. Так, например, 16 апреля 1850 года близ города Анже во Франции на подвесном мосту Бас-Шен при движении по мосту батальона французских войск во время сильного ветра произошла первая «катастрофа-резонанса». Несмотря на отданную команду сбить шаг, солдаты непреднамеренно двигались синхронно в попытке сохранить равновесие на раскачивавшемся ветром мосту, что, вероятно, привело к увеличению амплитуды колебаний и дальнейшему обрушению моста. В результате обрушения погибло 226 человек.

5) Амплитуда зависит от силы трения. Она уменьшается с увеличением силы трения, а резонансные кривые становятся более пологими (говорят, что наблюдается острый или тупой резонанс).

Если сила трения очень мала, то амплитуда вынужденных колебаний, как показывают расчеты, прямо пропорциональна квадрату амплитуды внешней периодической силы, и обратно пропорциональна разности квадратов циклических частот свободных и вынужденных колебаний системы.

Из формулы видно, что при стремлении частоты вынужденных колебаний к частоте свободных, амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности.

Среди различного рода колебательных движений можно также выделить и автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменной силы.

Впервые термин автоколебания в русскоязычную терминологию был введен советским физиком Александром Александровичем Андроновым в 1928 году.

Примерами автоколебательных систем могут служить электрические звонки, двигатели внутреннего сгорания, часы с гирями и так далее.

Общее между автоколебаниями и свободными колебаниями в том, что их частота и амплитуда определяются свойствами самой колебательной системы.

А отличие автоколебаний от свободных затухающих колебаний в том, что их амплитуда не зависит от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего колебательный процесс.

Как правило, автоколебательная система состоит из трех основных частей: колебательной системы V; источника энергии S; и устройства обратной связи B, регулирующего поступление энергии от источника к колебательной системе R.

Простейшей механической автоколебательной системой являются маятниковые часы с гирями. В этих часах колебательная система — это маятник; источник энергии — это потенциальная энергия поднятой гири; а устройство обратной связи — это храповjе колесо и анкер. Потери механической энергии на трение при движении восполняются за счет уменьшения потенциальной энергии, спускающейся при каждом колебании маятника часов гири.

Основные выводы:

Вспомнили, какие колебания называются вынужденными. Рассмотрели особенности вынужденных колебаний. Вспомнили о явлении механического резонанса. А также поговорили об автоколебаниях и автоколебательных системах.