Элементарные функции, их графики и свойства. Часть 2

Вопросы занятия:

·  повторить основные свойства и графики некоторых элементарных функций.

Материал урока

Прежде чем рассматривать функции, давайте ещё раз повторим основные свойства функций.

К ним относятся: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. К свойствам мы отнесём ещё и построение графика. Мы это сделали потому, что построив график функции – мы более наглядно можем увидеть основные свойства функции.

Начнем наш урок с функции y = x².

1. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. Поскольку квадрат числа может принимать только неотрицательные значения, то областью значений функции будет полуинтервал [0; + ∞).

3. Найдём нули функции, нетрудно увидеть, что y = 0 при x = 0. То есть нулём функции будет x = 0.

4. Поскольку квадрат любого числа – это неотрицательное число, то, в случае, когда x ≠ 0, функция принимает положительные значения.

5. Для определения промежутков монотонности, построим график этой функции. Составим таблицу значений. Отметим точки с полученными координатами на координатной плоскости. Плавно соединив это точки, мы получим график функции y = x².

Теперь по графику нам нетрудно увидеть, что на промежутке (- ∞; 0) функция убывает. На промежутке (0; + ∞) – функция возрастает.

Мы помним, что график такой функции называется параболой.

Рассмотренная нами функция является частным случаем квадратичной функции y= ax² + bx + c.

Теперь давайте определим промежутки монотонности функции, для этого давайте построим график квадратичной функции.

Рассмотрим пример.

Пример.

Следующей мы рассмотрим функцию:

Рассмотрим пример.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим функцию y = x³.

1. Областью определения этой функции будет вся числовая прямая.

2. Поскольку куб отрицательного числа – это отрицательное число, значит, областью значений функции будет вся числовая прямая.

3. y = 0 при x = 0, то есть нулём функции будет x = 0.

4. Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0. То есть при x из промежутка (0; + ∞)  функция принимает положительные значения. При x из промежутка (-∞; 0), функция принимает отрицательные значения.

5. Для определения промежутков монотонности, давайте построим график функции. Составим таблицу значений, отметим точки на координатной плоскости, плавно соединим их и график функции. По графику нетрудно определить, что функция возрастает на всей области определения.

Мы помним, что график функции y = x³ называется кубической параболой.

Рассмотрим пример.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы рассмотрели свойства и графики некоторых элементарных функций.