Конус. Площади поверхностей. Объём

Напомним, что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.

Назовём элементы конуса.

Осью конуса называется прямая вращения.

Основание конуса – круг радиуса , который равен катету треугольника вращения.

Радиус конуса  – это радиус его основания.

Вершина конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.

Образующая конуса  – отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все образующие конуса равны между собой.

Высота конуса  – перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.

В конусе радиус основания , высота  и образующая  связаны следующим соотношением:

.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось.

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Обратите внимание, радиус сектора равен образующей  конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим формулам:

, , ,

где  – длина окружности основания,  – радиус основания,  – образующая.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и площади его основания.

Тогда площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^

 ,

где  – радиус основания конуса,  – его образующая.

Объём конуса равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Тогда его можно вычислить по формуле:

,

где  – радиус основания конуса,  – его высота.

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая (нижняя) называется усечённым конусом.

Усечённым конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось, высоту , радиусы оснований  и , образующую . Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.

,

Площадь боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим формулам:

  ,  

Объём усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:

 ,

где  и  – площади оснований,  – высота усечённого конуса;

или ,

где  – высота усечённого конуса,  и  – радиусы верхнего и нижнего оснований.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Радиус основания конуса равен  см, высота конуса равна  см. Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.

Решение.

Задача вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с площадью основания  см² и углом наклона бокового ребра к основанию, равным . Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Задача третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см, вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с высотой  см так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём параллелепипеда. В ответе запишите значение .

Решение.

Задача четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого конуса равны соответственно  см,  см и  см. Вычислите его высоту.

Решение.