Проценты. Нахождение процентов от числа

– Саша, привет, чем занимаешься?

– Читаю книгу.

– Интересная?

– Да. Только я не совсем понимаю. Смотри, там написано, что войско Атамана было на 15 % больше, чем войско Горыни, которое состояло из 200 воинов. И вот я не могу понять, что такое проценты и как подсчитать, сколько же воинов в войске Атамана?

– Да, интересно. Пойдём к Электроше, он нам точно сможет помочь.

– Электроша, привет. Мы к тебе с новой задачей.

– Здравствуйте, мальчики. Ну что там у вас?

– Да вот я в книге прочитал, что войско одного командира было на 15 % больше, чем войско второго командира. Но что такое проценты, мы не знаем.

– Сейчас я вам всё расскажу. Но сначала давайте выполним несколько устных заданий.

– Вернёмся к вашему вопросу.

Для сотой части величины или числа было придумано специальное название – 1 %. Происходит это слово от двух латинских слов, которые переводятся как «на сто». Обозначают процент специальным символом %.

Для того, чтобы найти процент от числа, надо число разделить на 100.

Например, 1 % от 500 килограммов равен 5 килограммам.

– Ой, Электроша. Получается, что, если для того, чтобы найти 1 %, надо разделить на 100, то для того, чтобы найти 3%, надо разделить на 300?

– Нет, ребята. Не так. Для того, чтобы найти 3% от числа, надо число разделить на 100 и умножить на 3. Так, 3 % от 500 килограммов будут равны 15 килограммам.

– А, ну тогда понятно.

– Если вам понятно, то давайте выполним одно небольшое упражнение.

Найдите: а)  от ; б)  от ; в)  от .Это задание для тебя, Саша.

Найдём, чему равен 1 %. Получим, что 1 % от 17 равен 0,17.

Чтобы найти, чему равны 2 % от 340, найдём, чему равен 1 %, и умножим на 2. Получим 6,8.

23 % от 36 равны 8,28.

Понятно, что само число – это 100 %.

То есть если, например, работа выполнена на 100 % или заряд батареи равен 100 %, то это значит, что работа выполнена полностью и батарея тоже полностью заряжена.

Скажите, мальчики. А где ещё мы часто слышим о процентах?

– В магазинах. Там очень часто проходят акции и скидки на 5 %, 10 %, 15 % и так далее.

– Да, вы правы. Ещё проценты активно используют в банковском деле и не только.

Чаще всего проценты используют тогда, когда нужно показать, как меняется та или иная величина.

Если, например, факультатив по математике раньше посещали 6 человек, а теперь уже посещают 12, то можно сказать, что количество учеников, которые посещают факультатив по математике, увеличилось на 100 %.

Или, например, если по акции цена товара уменьшается вдвое, то говорят, что произошло снижение цены на 50 %.

И так далее.

Любое количество процентов очень просто записать десятичной дробью. Вы помните, что 1 % – это одна сотая числа. Значит, 1 % можно записать дробью 0,01.

– Подожди, Электроша, получается, что 15 % можно записать как 0,15?

– Да, Паша, ты абсолютно прав.

Запомните правило.

Для того, чтобы проценты записать десятичной дробью или натуральным числом, надо число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100.

– А разве проценты можно перевести в натуральное число?

Конечно, можно. Если у нас 100 % или 200 %, то они переведутся, соответственно, в 1 и 2.

Ещё удобно пользоваться процентами, когда мы хотим получить более точное представление о числе. Вот, например, в четверти среди текущих оценок у вас было 5 «пятёрок». Много это или мало? Не зная, сколько всего оценок по математике в четверти, ответить на этот вопрос нельзя.

Если у вас в четверти 30 оценок по математике и только 5 из них «пятёрки» – это много или мало?

– Конечно, мало.

– А если я скажу, что 90 % ваших оценок за четверть составляют «пятёрки», то это много или мало?

– О, это очень много.

Но, Электроша, давай вернёмся к нашей задаче и попробуем узнать, сколько же всего воинов в войске Атамана.

– Хорошо. Но сначала давайте решим несколько заданий попроще, чтобы мы могли решить вашу задачу все вместе.

Груши составляют 15 % от всех фруктов на складе. Сколько килограммов груш находится на складе, если всего там располагается 60 килограммов фруктов?

Сначала найдём, сколько килограммов фруктов составляет 1 %. Для этого разделим 60 килограммов на 100. Получим, что 1 % равен 0,6 килограмма. Нам необходимо найти 15 %. Умножим 0,6 килограмма на 15 и получим, что на складе находится 9 килограммов яблок.

Такие задачи называют «задачами на нахождение процентов от числа».

Теперь мы можем вернуться к вашей задаче. Паша, попробуй сам её решить.

– Найдём, сколько воинов составляет 1 % от войска Горыни.

Для этого разделим 200 на 100 и получим, что 1 % от войска Горыни – это 2 воина.

Войско Атамана больше на 15 %, то есть на 30 человек.

Теперь к 200 прибавим 30 и получим, что в войске Атамана 230 воинов.

– Молодец, Паша. Теперь давайте рассмотрим вот такую задачу.

Вкладчик положил на счёт в банке 30 000 рублей под 8 % годовых. Давайте попробуем подсчитать, какая сумма будет на счету вкладчика через год, если он ничего не будет снимать и докладывать на счёт.

У этой задачи есть два способа решения.

Начнём с первого.

Узнаем, сколько рублей составляет 1 %. Для этого 30 000 разделим на 100 и получим, что 1 % составляет 300 рублей.

Тогда 8 % составляют 2400 рублей. Тогда к концу месяца на счету вкладчика будет уже 32 400 рублей.

Эту же задачу можно решить и другим способом.

Поскольку доход со счёта составляет 8 % в год, то через год на счету будет уже лежать 108 % от первоначальной суммы.

1 % от первоначальной суммы равен 300 рублям. Тогда 108 % равны 32 400 рублям.

– Ну что, ребята, теперь вам понятно, как решать такие задачи?

– Да, Электроша.

Тогда вот для вас ещё одна задача.

Раствор содержит 6 % соли. Определите, сколько соли содержится в 350 килограммах раствора.

– Эта задача для тебя, Саша.

Определим, сколько килограммов составляют 1 %. Получим 3,5 килограмма. Умножим это число на 6 и получим 21 килограмм.

Теперь решите ещё одну задачу.

Участники двухдневных гонок должны были преодолеть 670 километров. В первый день они преодолели 38 % всего пути. Сколько километров гонщики преодолели во второй гоночный день?

Попробуй, Паша, решить эту задачу.

– Длина всей трассы – это 100 %. Если в первый день проехали 38 % трассы, то во второй останется преодолеть 62 %. Определим, сколько километров составляют 1 %. Получим 6,7 километра. Тогда во второй день гонщики преодолели 415,4 километра.

– Молодец, Паша.

Решите ещё одну задачу.

Доходы фирмы за 3 летних месяца составили 280 000 рублей. В июне доходы составили 35 % от этой суммы, в июле – 110 % июньских доходов. Сколько рублей составила прибыль фирмы за август?

– Саша, попробуй ты.

Сначала посчитаем, сколько рублей составляет 1 % прибыли фирмы. Получим 2800 рублей. Тогда за июнь прибыль фирмы составила 98 000.

Подожди, Электроша, но июльская прибыль составляет 110 % июньской. Как такое посчитать?

– Не волнуйся. Всё довольно просто. Для того, чтобы посчитать июльскую прибыль, мы должны найти 110 % от 98 000. Разделим это число на 100, умножим на 110 и получим, что за июль месяц прибыль составила 107 800 рублей.

– Тогда понятно.

– Подсчитать прибыль за август несложно. От общей суммы прибыли отнимем суммы прибыли за июнь и июль. Получится, что в августе прибыль фирмы составила 74 200 рублей.

– Интересно, а можно ли найти число по процентам?

– Да, мальчики, можно.

Для того, чтобы разобраться, давайте попробуем решить одну задачу.

В молоке содержится 21 % сливок. Сколько молока надо взять, чтобы получить 10,08 килограмма сливок?

Поскольку это количество сливок составляет 21 %, значит, 1 % будет равен 0,48 килограмма.

Вес молока – это 100 %, значит, необходимо взять 48 литров молока.

Задачи именно такого вида и называют «задачами на нахождение числа по его процентам».

Вам понятно, мальчики?

– Да.

– Тогда вот вам ещё одна задача для решения.

Определите, сколько времени мама потратила на приготовление ужина, если на приготовление мясных блюд понадобилось 40 % всего времени, десерт занял 20 %, а приготовление салатов заняло 48 минут.

– Саша, эта задача для тебя.

– Подсчитаем сначала, сколько процентов времени у мамы заняла готовка мясных блюд и десерта. Получим 60 % всего времени. Тогда на салаты остаётся 40 %. Разделим 48 минут на 40 и получим, что 1 % – это 1,2 минуты. Умножим это число на 100. Значит, мама на приготовление ужина потратила 120 минут, или 2 часа.

– Молодец, Саша!